§1.8 考虑粘性效应的滑移系数

一、边界层的堵塞

妹尾泰利等人在假定流动是二维的，且在从叶片前缘开始就是紊流的情况下，计算了几个叶轮沿叶片表面的边界层。计算结果表明，在叶轮出口处叶片压力面上的边界层厚度都小于出口处吸力面上厚度的十分之一。叶轮前后盖板表面上的边界层从定性的角度而言，则与沿叶片吸力面上的边界层有关。因此，叶轮流道中边界层的厚度，从某种程度上来说，可以用沿叶片吸力面上的边界层来代表。

边界层沿叶轮内壁增长时，有效的流道就变狭，从而使主流的速度增大。在后弯叶片的情况下，叶轮出口处绝对速度的圆周分速度将因边界层堵塞而减小，如图1-10所示。流道因边界层堵塞导致的速度三角形的变化类似于流量变大时的情况。

设A为流道的几何面积，△A为因边界层堵塞所形成的几何面积，于是可把△A/A=B称为堵塞比。由于相对速度与叶轮出口的几何面积有关，即

所以有

这样，就可求得绝对速度圆周分量的变化与堵塞比B的关系（见图1-10):

（1-62）

式中ω₂和β₂为叶轮出口处基于势流理论的质量平均相对速度和流动方向角。前面曾经指出，边界层堵塞将使滑移系数减小，因此，从势流理论出发计算的c_u2/u₂值必须扣除因边界层堵塞引起的△c_u2B/u₂的变化值。一般说来，在二维势流理论的计算中，所求得的是叶轮出口的相对速度值，然后可根据速度三角形求出相应的绝对速度及其圆周分量。

至于边界层堵塞的堵塞比B,其中的几何面积A是容易求得的，它等于单个流道出口

处的通流面积，即A =b₂sinβb₂  ，而堵塞面积则要根据叶片吸力面上的边界层计算来确定。设边界层计算求得叶片出口处吸力面上的边界层位移厚度为δ_1，位移厚度δ₁相当于因边界层的存在而把壁面移动了一个距离。对于尾迹区而言，可以引入一个所谓尾迹有效厚度△t的概念，它同祥相当于因尾迹区的存在而把叶片壁面沿垂直于壁面方向移动一个距离。 设在叶轮出口处的尾迹有效厚度为△t₂,则△A=△t₂b₂,于是堵塞比可求。根据妹尾等人的介绍，△t₂=aδ₁,面a=1+mq，其中m为系数，其值为m = 0. 455,它对所有离心叶轮来说均为常数，q=πd₂sinβb₂ /(zb₂)为流道的展弦比。显然，a值始终大于1。

 二、有效骨架线的变化

众所周知，叶轮前后盖板上的边界层液体会滑向叶片的吸力面，即向吸力面汇集。因此， 边界层的汇集不仅增大了边界层堵塞，而且也改变了叶片的型线。设叶片的型线为一圆弧， 且其吸力面上边界层位移厚度的分布情况已由边界层计算确定，则有效骨架线就从r_x的位置开始偏离叶片的几何型线。r_x也就是滑移开始的半径，它的位置可根据斯塔尼兹 (Stanitz)的建议确定，即

式中    a——叶轮轴面投影上轴面流线的倾角；

          △θ——叶片之间流道的幅角，△θ=θ_s-θ_p，其中下标s和p分别指吸力面和压力面，△θ用弧度表示，即由r₂△θ=2πr₂/z可得△θ=2π/z，z为叶片数，r₂为叶轮出口半径。

这样，如果确定了不同半径位置处的△t,则叶片的有效骨架线就可确定下来。叶片的有效骨架线一经确定之后，就可求出因叶片流出角的变化所引起的滑移变化。由于叶片型线的改变，使流出角成为有效骨架线处的β_s2和原来叶片型线处的β_b2的平均值，即（β_s2+β_b2）/2,而不是原来叶片型线时的β_b2。因此，因叶片型线改变为有效骨架线而引起的流出角的偏转将为

而由此引起的滑移速度的减少值（图1-11)则近似为

（1-63）

显然，由势流理论计算的滑移速度△c_u必须减去式（1-62)和式（1-63)所示的滑移速度。

三、叶轮内壁上的摩擦力

由于在叶轮上作用有压力和剪切力，它们所引起的力矩才能把角动量传递给整个液体。通常假设剪切力所引起的力矩是可以忽略的，只把环绕叶片的压力分布所引起的力矩认为是驱动力矩。可是，就低比转数叶轮而言，因壁面摩擦而引起的摩擦力矩却是不能忽略的。这并不意味着在中、高比转数叶轮中就可以忽略，只是说明这种作用在低比转数叶轮中更为重要而己。

今分析离心叶轮中因摩擦引起的摩擦力矩，这种力矩由叶片表面上的摩擦力和叶轮前后盖板上的摩擦力所引起。

设叶轮流道中的相对速度为ω，在叶片上取一微段长度d_l,如图1-12所示，则作用在叶片一侧的摩擦力D'_fb为

（1-64）

式中    c_f——摩擦系数；

          ρ——密度；

          dA——叶片表面的微元面积，dA=bdl，其中b为叶片宽度。

由图1-12可知，d_l=dr/sinβ_b，所以式（1-64)可写成

若叶片数为z，则就叶片的两侧而言，其摩擦力为

于是可得叶片表面的摩擦力所引起的外力矩为

（1-65）

就叶轮前后盖板所引起的摩擦力矩而言，作用在盖板一侧的摩擦力D'_fb为

式中    d_A——盖板一侧的微元面积，d_A= 2πdr。

这样，对前后盖板而言，就有

于是，前后盖板内壁上因摩擦而引起的外力矩为

（1-66）

这两种壁面摩擦的外力矩将造成绝对速度圆周分量的增量，即

（1-67）

式中    m——通过流道的质量流量。

式（1-65)和式（1-66)中的大多数变量都是半径r的函数，因此，在把叶片分成若干段并把每段内的各个参数取为平均值后，经积分可得：

（1-68）

式中，质量流量。

在大多数情况下，前后盖板的摩擦力矩所引起的滑移速度的变化比叶片表面摩擦力矩所引起的变化量要大得多。因此，对于低比转数的离心叶轮来说，由于其出口宽度较窄，所以壁面摩擦对滑移速度所造成的影响也将更为显著。

摩擦系数c_f将受到许多因素的影响，如二次流、哥氏力、叶片的曲率、雷诺数以及表面粗糙度等。由于在大多数情况下这些因素的影响是未知的，所以可以采用平板的摩擦系数。在计算摩擦系数时，叶轮的雷诺数为

式中    l——叶片的长度t

对于所试验的前述几个鼓风机叶轮而言，其雷诺数在（0.85〜4.9)×10⁶的范围内。

因壁面摩擦引起的滑移速度的变化应该叠加到势流理论所得的c_a2上去，这一点正 好与边界层堵塞和叶片有效骨架线的变化所造成的结果相反。在后两种情况下，其影响是使滑移系数减小，而作用在流道上的剪切力却会增大滑移系数。

四、滑移系数的估算

妹尾等人利用上述方法计算了表1-1中的六个叶轮的滑移系数，其结果如表1-4所示。表中还同时列出了cu₂/u₂的预测值和实验值，可以看到，壁面摩擦的影响对具有后弯叶片的离心叶轮来说是不能忽略的，对低比转数叶轮来说更是如此。六个叶轮的比转数有较大的范围，但边界层堵塞的影响却近似地相等。叶片型线变化的影响既重要而又复杂，这大概是因为它取决于较多的因素，诸如叶片出口角、比转数和叶片数之故。

边界层堵塞和因边界层位移厚度引起的叶片型线的变化都会使滑移系数减小，而作用在流道中的壁面摩擦力却使滑移系数增大。这些影响在低比转数叶轮中几乎是相互抵消的 (例如表1-4中的叶轮F,其△c_uc和△c_uB几乎与△c_uf相抵消），但对大多数叶轮来说却并不能相互抵消。

考虑到上述各种影响后的绝对速度圆周分量可计算如下：

（1-69）

表1-4                      三种因素对滑移系数的影响

妹尾等人对六个叶轮的计算结果表明，与实验值相比，其预测精度在1.8%以内。

图1-13为估算滑移速度的计算框图。

求出c_u2,r/u₂后，即可求得滑移系数μ= c_u2,r/c_u2∞=，其中u₂和c_u2∞可按无限多叶片时的速度三角形求出。妹尾泰利的上述计算方法虽然是针对离心鼓风机进行的， 但在离心泵中也给我们以启发和借鉴。由于许多文献，其中也包括妹尾的文献，都是针 对所研究的特定情况进行的，所以各文献所得结论的精度似都较高，然而在普遍适用的 情况下，估计其精度将会有所降低。