§ 3.1  Ro数与Ri数

一、旋转系统中流动的相似准则

对于离心泵内的流体，通常可以看作常密度、常粘性系数的牛頓流体，作用在流体上的重力可忽略不计。在旋转坐标系中定常流动的连续方程与惯性坐标系中的形式相同，方程为

（3-1）

旋转坐标系中流体质点的加速度为相对加速度，作用在流体上的质量力为惯性离心力、哥氏力，在旋转坐标系中的纳维尔—斯托克斯方程为（3-2）

式中为流动的相对速度，为坐标系的旋转角速度。为流动空间任一点至转轴的矢径。由矢量分析可知：

（3-3）

式中ω为旋转角速度矢量的模。由上式可见，离心力可表示成一个标量函数(ω²r²)/2的梯 度。在很多问题中离心力是不重要的，它可由径向的压强梯度所平衡，这一压强梯度不管是否有相对于旋转参考系的流动都是存在的，并且它与相对流动没有相互作用，如同重力的作用与流体的静压力平衡一样，为了方便起见，定义一个折算压强p^·，令

（3-4）

则式（3-2)可改写为

（3-5）

用折算压强p^·代替后，离心力不出现了，但问题仍是同一问题。方程式（3-1)及式（3-5)构成确定和p^·的封闭方程组。

为了将式（3-1)及式（3-5)无量纲化，设L为流场几何尺寸的特征量，U为相对速度的特征量，则有量纲的流动参数可表示成如下的形式

（3-6）

式中均为无量纲量，将以上诸量代人式（3-1)和式（3-5),得

（3-7）

（3-8）

式中Re为雷诺数，Re=UL/γ，表示作用在流体上的惯性力与粘性力之比；Ros=U/ωL称为罗斯贝（Rossby)数，表示惯性力与哥氏力之比。以上无量纲的方程组是对于以定轴等速转动、流体物性参数为常数的情况得出的。因此，对于两个几何相似的流动系统，要达到力学相似，必须满足同名的相似准则数相等，即Re数相等、Ros数相等。另一方面，对一确定的流动系统而言，Re数、Ros数反映了惯性力、粘性力与哥氏力对流动的影响，如Re ≥1的情况下，表明惯性力与粘性力相比，粘性力的影响很小，通常只在靠近固体壁面的薄层（边界层）中考虑粘性对流动的影晌，而在其余流动部分忽略粘性力，把流体看作理想流体。同样及Ros≥1的情况下，哥氏力的影响较小，在处理这样的流动问题时，可以略去方程中的哥氏力项，在的情况下，惯性力与哥氏力相比，惯性力影响较小，则运动方程中的惯性项可以略去不计。例如，在研究海洋环境、大气环流问題时，惯性力、粘性力与哥氏力相比都较小，运动方程中可略去惯性项（加速度项）及粘性项，问題简化为哥氏力与折算压强梯度的平衡问题，这样的流动问题称之为地转流动。

二、  Ro 数

在叶轮机械中，采用罗斯贝数的倒数形式表示旋转流动的相似准则数，称为旋转数 有时也采用。旋转数在应用中较方便，它与旋转角速度ω成线性关系，Ro数可理解为哥氏力与惯性力之比。Ro数较小，则哥氏力影响较小。在离心式叶轮的边界层流动分析中，Ro数表达式中的特征速度取相对自由流速度，特征长度L取边界层厚度δ或 动量损失厚度δ₂，因此Ro数较小，其数量级为O(10^-1)〜O(1)，但旋转对边界层的稳定性有着明显的影响。

三、  稳定性的基本概念和Ri数

一个流体质点（微团）在运动中受到某种扰动而偏离原先的平衡位置，若存在一个恢复力且在该恢复力的作用下，流体质点能返回平衡位置，则说明流体在这种运动条件下是稳记的，换言之，若流体在运动中受到的某种扰动随时间的流逝是衰减的，则流动是稳定的；若扰动随时间增大，则流动是不稳定的。例如，密度沿铅垂方向变化的流体，假定某位置髙度z处流体的密度为ρ，流体质点受到--个扰动后向上位移了Δz，该处流体的密度为，则作用于该流体质点上的净浮力为，V为流体质点的体积，因此，该质点的运动方程为

（3-9）

该质点在其原来的位置附近以角频率N作简谐振动：

（3-10）

N称为勃隆特一凡依萨拉（Brunt-Vãsàlã)频率。若<0,则N为实数，对应的运动是稳定的；若>0,则N为虚数，对应的运动是不稳定的；=0,即N=0,对应中性稳定。当密度变化是由温度变化引起时，引入流体的体积膨张系数，则角频率又可表示为

（3-11）

设想在上述密度分层（只沿垂直方向变化）的流体上叠加上一个长度特征为L、速度特征为U的运动，例如，由尺寸为L的物体在流体中沿水平方向以速度U运动而产生的流动，这一运动会引起密度场的变化，令ρ’表示密度的改变量，则变化后的密度等于（ρ+ρ’)，假定流动中质置扩散过程可以忽略不计，因此每一个流体质点在运动中总是由同样的物质所 组成，按照布辛涅斯克（Boussinesq)近似，流体的物性参数除密度变化外，其余均为常数，而密度的变化只在计算重力影响时考虑，所以连续方程仍可用不可压缩流体的形式，即▽· =0，因此流体的密度满足密度方程

若把坐标系取在运动的物体上，则流体的相对运动是定常的，以上密度方程又可表示为

（3-12）

式中，u,v,w分別表示x,y,z方向的速度分量。

方程中各项应具有相同的数量级，比较最后两项可得

流体质点受到的净浮力与密度的改变量、重力加速度以及流体质点的体积成正比，因此

而流体质点的惯性力≈pL²U²，因此

（3-13）

为了反映流动的剪切流动特征，上式中特征速度与特征长度之比U/L以代替，井且与勃隆特一凡依萨拉角频率相联系，因此定义

（3-14）

Ri称为理査森（Richardson)数，它是一个无量纲的准则数，反映了流动中浮力与惯性力之比，同时也可以看作角频率与剪切流动特征(取平均旋度之比)的平方。Ri数也与流动的稳定性相联系：当Ri数为正，则流动是稳定的；当Ri数为负，则流动是不稳定的；Ri数为零时，对应于中性稳定。以上Ri数又称为梯度Ri数，以区别于其它定义的Ri数。