第五节 轴向涡流
§1.5 轴向涡流
在有限叶片数的叶轮中，流道内存在着所谓的轴向涡流，这是在理想流体情况下的—种与叶轮旋转方向相反的旋涡运动。现在讨论这种涡流的形成。我们知道，流体中任一流体微团的运动可分解为三种运动，即平移、变形和转动。这里只讨论旋转运动，以便进一步理解轴向涡流形成的原因。
设有平面极坐标系，如图1-5所示，其中z轴通过原点且垂直于该平面。今在该极坐标系中取一液流微元体abcd,点a处的速度分量为cr和cu。由于点b和点c既相对于点a运动，又相对于原点o运动，所以，如果在点a设置相对坐标系，并以ab和 ac为其坐标轴，则原来的极坐标系即为绝对坐标系，因为相对坐标系相对于绝对坐标系作旋转运动，所以所取的液流微团绕z轴的绝对旋转角速度ωz应为：
式中 ω'z——ac边和ab边在相对坐标系上绕通过点a的轴线的相对角速度；
ω"ｚ——相对坐标系的原点a相对于绝对坐标系原点ｏ的牵连角速度。
现在来求相对角速度ω’z。点ｃ在θ方向的绝对速度为ｃθ+△ｃθ，而点C在θ方向的牵连速度为
。因为相对速度等于绝对速度与牵连速度之差，所以可得点ｃ的相对速度为
于是点ｃ相对于相对坐标系原点a的旋转角速度为
这是ac边在相对坐标系上绕通过点a轴线的旋转角速度，同样，可求得ab边的旋转角速度，它可由点b在γ方向的绝对速度与牵连速度之差来求得。点ｂ在γ方向的绝对速度为ｃγ+△ｃγ,而相对于点a的牵连速度为ｃγ，所以点b在γ方向的相对速度为
于是可得点b相对于原点a的旋转角速度为
式中的负号是因为此旋转角速度的方向与θ的正方向相反。
因此，微元体abcd在相对坐标系上绕通过点a轴线的相对角速度应等于ab边和ac边相对角速度的算术平均值，即
此外，由于相对坐标系原点a相对于绝对坐标系原点o的牵连角速度为
所以液流微元体abed绕绝对坐标系ar轴的旋转角速度为
（1-51）
同理可得另外两个方向上的旋转角速度为
显然，在r、θ平面内ωγ=ωu = 0 。如果ωz= 0，则在该平面内的流动是无旋的，即为势流，而若叫ωz≠0,则流动为有旋，称为涡流。
在§ 1.2二中已经指出，离心泵叶轮的相对伯努利方程只有在有势的绝对运动时，即▽×
= 0时，相对运动的能量才能保持为常数。可是，当绝对运动为有势时，相对运动却是有旋的。事实上，由ωz= 0,可得
而
（1-52）
式（1-52）与式（1-10）并不矛盾，因为式（1-52）说明的是相对角速度，而式（1-10）说明的是旋涡强度。由此可知，在r、θ极坐标中，相应于有势的绝对运动，具有旋涡的相对运动，在r、θ平面中，相对旋涡（轴向涡流）具有z轴的方向，而且相对旋涡的方向与叶轮旋转的方向相反，这就是离心泵叶轮中轴向涡流之所以形成的原因。
