§3.4 勃拉德肖类比

 如前面讨论过的，在某些情况下流过曲壁或旋转边界的层流与有浮力作用的分层流动相类似，例如，两个旋转的同心圆简间的流动与不同温度的两个水平平行平板间的自然对流、它们因小扰动引起的流体成点运动可以用同一类型的力程来描述。浮力与曲率或旋转 (惯性离心力或哥氏力）对流动稳定性有着类似的影响。在紊流情况下，浮力与惯性离心力或哥氏力类比不象层流那样接近，因为浮力对流动稳定性的影响依赖于密度的紊流脉动(或温度脉动量），而曲率及旋转(惯性离心力或哥氏力）对流动稳定性的影响依赖于紊流周向速度脉动量。一些科学研究工作者的研究结果表明，在紊流剪切流动情况下，周向速度脉动量句引起浮力效应的密度（或温度）脉动量之间存在一定的相关性。勃拉德肖（P. Bradshaw)借鉴他人的一些理论与实验研究成果，对紊流剪切流动条件下，流线曲率和旋转影响与浮力影响进行了类比，正像动量传递与热量传递的雷诺类比一样，他将气象学中的一些无量纲参数和研究成果，推广到有曲率或旋转影响的紊流剪切流动中来，从而得出流线曲率和旋转影响的一些规律，这对真实情况是一个很好的近似。

为了与密度分层的水平剪切流中浮力的影响相类比，在弯曲流动中选取z轴垂直曲壁表面，有关方程中出现的一些弯曲流动参数，都给予与气象学相等价的名称，从而以简单明了的方式显示出类比的一致性。

在气象学中基本分析表明，在温度分层环境中的理想气体微团受到小扰动后偏离它的初始高度在垂直方向作绝热的小振动，其角频率为

（3-40）

式中F为绝热偏差率，中性稳定时相应于零频率，而不稳定时相应于虚频率。

流线曲率半径为R的不可压缩流动中，假定流体微a在径向受到小扰动后产生位移， 而保持原有的角动量（或总压）不变，这时流体微团作小振动的角频率为

（3-41）

式中p₀为总压，流线为向上凸的R取为正值，向下凹的R取为负值。

在气象学中，梯度Ri数是浮力与惯性力之比，并可以看作是角频率与剪切流动特征尺度(以平均旋度表示)之比的平方

（3-42）

梯度Ri数亦与流动的稳定性相关，正的Ri数对应于稳定的流动。

对于不可压缩弯曲流动，与温度分层剪切流相类比也可以定义一个梯度Ri数

（3-43）

式中为无量纲参数，在s很小的情况下，。小s的假设对很多曲率影响不占支配地位的流动都是合适的。

在气象学中，通量理查森数（flux)定义为浮力产生的紊动能与剪切力产生的紊动能之比的负值

（3-44）

式中表示脉动热通量的时均值，，r为紊流附加切应力，即雷诺应力。通量理査森数Rf是较梯度Ri数更有意义的参数，因为Ri数是在非紊流环境条件下，与孤立流体微团的静稳定性有关，而Rf是普遍适用的紊动能方程中的有关两项之比。在没有明显的水平对流和垂直扩散引起的紊动能输运情况下，紊动能方程可以简单地表示为

(剪切力生成项）+(浮力生成项）=(耗散项）

或

（3-45）

这种特殊情况对地球周围的大气边界层的内层流动是一个很好的近似，大多气象分析都基于此。

在弯曲流动中，沿流向和横向的紊动能方程中都出现生成项，u方向分量类比于剪切力生成项，w方向分量类比于浮力生成项，二者之比的负值为

（3-46）

在大多实际流动问题中s很小，故可导出Rf≈Ri。一般的弯曲流动中，Rf与Ri之间的关系式都较为简单。

比通量Ri数可能更有意义的无量纲量是应力Ri数，它定义为关于的雷诺应力方程中的两个生成项的比值，在气象学的飘浮流动中，应力Ri数为

（3-47）

在弯曲流动中与之相类比的应力Ri数为

（3-48）

根据实验室得到的紊流数据，不管是飘浮流动或者是弯曲流动，在流动接近于中性稳定状态时R_i/R_f约等于4。可以预期，在稳定状态时该比值会大一些，而在不稳定状态则会小一些，值得指出，在紊流边界层的内层中纵向脉动量的时均值与外层中的流动有关，对内层而言，外层相当于非定常的自由流，因此它影响到内层脉动量的水平。在曲壁边界层中，纵向速度脉动量的时均值对雷诺应力是有贡献的，而在平壁边界层中则不起作用。

气象学中有关大气的混合长度的莫宁一奥勃科霍夫（Monin-Oboulchov)公式为

（3-49）

也可表示为

（3-50）

式中∈为紊动能的局部耗散率，L_∈为耗散长度参数，K为实验常数。在均匀紊流或接近均匀紊流的情况下，紊动能的输运项可以忽略，剪切力生成项和浮力生成项与耗散项相平衡，这样平衡关系式可表示为

（3-51）

在浮力影响很小的情况下，上式可以简化为

（3-52）

在索流边界层的内层，当接近中性稳定条件时，L_∈=K_z，故

（3-53）

与之类比的弯曲流动，参数“L”也可以定义为

（3-54）

因为耗散项，在弯曲流动中与浮力类比的紊动能生成项为，所以上式又可表示为

（3-55）

式中sgnτ表示τ的符号。若取作为边界层内层的特征值，则“L”≈0.06R。若曲率影响和输运项均较小的情況下，由前面的讨论可得出以下近似关系

（3-56）

上式中任何参数均可用于表示曲率影响的经验公式中。在小曲率情况下，附着边界层内无量纲参数L_∈/δ近似为无量纲坐标z/δ的通用函数；为z/δ<0.2时L_∈=K_z，当z/δ>0.25 时L≈0.1δ，在边界层外层L_∈～（间歇因子）。

对于旋转的剪切流动，同样可以与有浮力作用的剪切流动进行类比，在这种情况下，坐标轴选取在旋转的物体上，惯性离心力可以归并在压强梯度项中。运动方程中唯一的附加项为哥氏力2。在讨论绕旋转物体的边界层流动时，哥氏力为z方向（垂直物面）的力2,它相当于绕曲壁流动时z方向的力U²/R，在x-z平面内若旋转方向为顺时针方向，则ω取为正值。通过类比得出勃隆特一凡依萨拉频率为

（3-57）

梯度Ri数为

（3-58）

式中按哈伦（Halleen)和约翰斯通Uolinston) (1967)给出的紊动能方程，流动横向分量的生成项为2ωr，流动纵向分量的生成项为，因此，旋转边界层内的通量Ri数为

（3-59）

当s>时，根号前取正值。同样，在旋转作用的影响较小时，Ri≈Rf。

应力Ri数为

（3-60）

莫宁 奥勃科霍夫混合长为

（3-61）

因此

（3-62）

勃拉德肖类比的应用主要在两个方面。一方面，通过弯曲流动或旋转流动中相应的Ri数判断曲率或旋转对流动稳定性的影响，从面估计紊流的发展或抑制，但是在方程式（3- 56)中的任何一个参数都不能定量地确定出曲率或旋转对亲流强度或剪切应力的影响程度，因为紊动能方程中的输运项尽管与生成项及耗散项相比一般较小，但并不总是可以忽略不计的，所以尚不能定出抑制紊流的唯一的临界Ri数。另一方面，曲率与旋转对紊流的影响可以在影响紊流雷诺应力方面体现出来，按照普朗特的混合长度模型，，曲率与旋转直接影响到混合长度的变化。在浮力影响较小的情况下，大气边界层中关于混合长度的莫宁一奥勃科霍夫公式为

（3-63）

式中L₀，表示无浮力影响时的混合长度，β为比例系数。在弯曲流动中与之相当的混合长度公式为

（3-64）

在不稳定情况下（Ri<0)，β约为4.5;而在稳定情况下（Ri >0)，β在7〜10之间。显然可以忽略β与（β）之间的差别。在-0. 5< Ri <0的范围时，混合长度公式可用直残拟合

（3-65）

关于β值的变化特征尚尤直接规律可遵循。以上是在浮力较小的情况下进行流动现象类比的，因此，不能期望这种类比可以定量地用于曲率较大的弯曲流动场合，即使剪切层（边界层）厚度与曲率半径之比为δ/R=l/300,这一比值对于较厚的翼型或涡轮叶片绕流是很容易达到的，利用莫宁一奥勃科霍夫公式，β=7,计算表明，在边界层外层中混合长度的 化约为1%。值得指出的是，这种情况下跨过边界层静压强的变化还不足自由来流动压的1. 5%,而曲率对紊流结构的影响大大地超过曲率对平均运动方程的影响。勃拉德肖利用这种类比方法成功地进行了曲率影响的汁算，并与舒鲍尔和克莱班诺夫（SchLibaur & Kkbanoff) (1951)的翼型绕流实验结果及施米特鲍尔（Schmidbaur) (1936)的凸壁面流动实验结果作了比较，分别见图3-12和图3-13,图3-12表示曲率半径为9. 4m,在翼型最小压强点下游处边界层厚度δ=6. 4cm。图3-13表示凸壁面的曲率半径

为150cm,边界层厚度在x = 46cm处为1.lcm两图中c_f表示摩擦系数，δ₂为动量损失厚度，H为形状因子， 即位移厚度δ₁与动量损失厚度δ₂之比。

在旋转影响较小的情况下，，利用莫宁—奥勃科霍夫公式和酋朗特混合氏度公式，可得旋转剪切流动中的时均速度

（3-66）

在边界层内层中，通常假定τ=τ_u，L₀=K_z，上式又可表示为

（3-67）

由哈伦和约翰斯通对旋转的矩形管道中充分发展流动的測量结果，可对β的值作粗略的估计，尽管在静止的矩形管道中距离壁面约0.1高度范围之外，条件τ=τ_u和L₀=K_z都不能满足，但是管中的速度分布差不多到中心位置仍保持对数规律，因此，旋转的影响可通过测量实际速度分布与对数速度分布的偏差来确定，如图3-14所示。在稳定边β约为4，在不稳定边β约为2。需要指出，虽然这些实验值的一致性相当好，但是在实际定量应用方面用处不大，因为图中的直线是基于200<u_τz/v<400范围内速度分布的偏差给出的，而前面的分析仅适用于紊流边界层的内层，内层的（u_τz/v）值范围小于200。