§3.5 曲率与旋转对紊流边界层的影响及其求解

 离心叶轮中的流动是非常复杂的。在这一流动领域中，需要解决的问题之一是计算叶片表面的边界层。叶轮中的实际流动是三维的，边界层从进口段前缘起为层流，在一般情况下，在尚未受到逆压梯度作用之前流态并不转换为紊流。如果叶轮中的流动发生分离，则叶轮流场中存在强烈的相互干扰，分离点之后的尾流区域会影响分离点上游叶片表面的压强梯度，而分离点的位置事先是无法确定的，这就要求在计算叶轮流场时，对忽略粘性的势流区域，尾流区域以及所有叶道表面的边界层进行迭代求解。此外，尚需考虑由叶片表面形状引起的边界层曲率的影响，以及叶轮旋转的影响。要将以上述及的所有影响都考虑进去求解叶轮流场，这种综合计算方法目前还不存在。尽管如此，许多研究工作者从不同的实际情况出发，抓住影响流动的主要环节，对这一复杂的流动现象进行简化，已在离心叶轮流场的工程计算方面取得很大进展。本节侧重介绍曲率及旋转对紊流边界层的影响，以及在离心叶轮中叶片表面紊流边界层方程的求解。

图3-15表示曲壁面上的边界层，曲壁沿纵向(流动方向）的局部曲率半径为R，整个流场以局部转速Ω旋转，其局部转动轴垂直于时均流动平面。R和Ω均认为是贴体坐标x的函数，壁面为凸面时R取正，为凹面时R_s取负；相对于xy坐标平面，顺时针方向转动时Ω为正，逆时针方向转动时Ω为负。在图示的情况下，对时均流场而言，由于曲率和旋转，引起附加的加速度，即向心加速度和哥氏加速度。在y方向附加加速度的分量为

（3-68）

在x方向附加加速度的分量为

（3-69）

式中U、V分别表示x、y方向的时均速度分量。在边界层内，因为，所以x方向的附加加速度较方向小得多。勃拉德肖的研究结果表明，对于边界层厚度增长率dδ/dx很小的薄剪切层(TSL)。在式（3-68)中表示的附加加速度项，可从边界层的时均运动方程中略去。在形式上与不考虑曲率和旋转的边界层方程及边界条件相同，即

（3-70）

（3-71）

（3-72）

式（3-72)表示的边界条件，是边界层渐进理论的表示方法，若釆用有限厚度理论，则可表示为U（x,δ) = U。要使薄剪切层近似成立，则要求R和Ω满足以下条件

（3-73）

若上述参数增大到0.05时，则附加加速 度项应计入基本方程中。经验表明，曲率和旋转对紊流结构以及改变紊流剪应力方式的影响，要比附加加速度项出现在基本方程组中的显式影响重要得多。例如，在的弯曲剪切层中，观察到的改变量达10%。

理论与实验研究的结果表明，曲率或旋转单独对流动稳定性的影响，可概括为如图3-16所示的几种情况。在边界层内部，用以表示局部稳定性的参数为梯度理查森数

及

（3-74）

上述简单的表达式适用于薄剪切层。

定性地讲，沿Ri>0时，流动稳定化，它使紊动能及紊流应力水平相对于等价的标准流动状态（Ri=0)而言有所降低，而Ri<0时，流动不稳定，它具有相反的影响。在满足薄剪切层近似的条件下，曲率与旋转对紊流边界层的影响集中体现在紊流附加切应力项中。按照普朗特混合长度模型，紊流附加切应力表示为

（3-75）

式中l为混合长度。紊流边界层采用内层和外层双层模型。在没有曲率与旋转的情况下(Ω=0,R→∞)，混合长度以l₀表示，在边界层的内层，假设混合长度与到壁面的距离成正比， 并考虑到粘性壁面的影响，利用范德利斯特（Van Driest)衰减因子加以修正

（3-76）

在边界层外层，混合长度为常值

（3-77）

式中K为卡门（Karman)常数，K = 0.4l ；λ为经验常数，通常取为0.08;在衰减因子中出现的参数A⁺依赖于壁面附近的粘性区域中流动的待点，在零压强梯度下取为25；y为无量纲坐标，τ_w为壁面切应力。

在有曲率和旋转的情况下，二者影响紊流结构和混合长度，这时混合长度乘以—个修正系数即l=Fl₀假定F是梯度数的线性函数

（3-78）

式中β_c与β_n均为由经验确定的正常数。依照文献中推荐的值，对于弯曲流动，凸壁绕流时β_c=7,凹壁绕流时，β_c=4.5; β_n=6±2。

在边界层外层，时均速度梯度（ƏU/Əy)变得愈来愈小，按式（3-74)的定义，其局部梯度Ri数将变得很大，因此在利用式（3-78）计算时，将出现负的修正系数，在有曲率和旋转影响的边界层外层中，混合长度l像l₀一样也应保持常数。为了解决以上矛盾，在外层中计算Ri_c和Ri_n时，以（0.3U/δ）代替（ƏU/Əy)值。

在已知流体物性参数、壁面形状、初始边界层参数（或时均速度分布）、势流速度分布U_c（x）以及局部曲率半径R（x）、转速分布Ω（x）的情况下，利用以上紊流模型就可用数值方法求解边界层方程式（3-70)。约翰斯通（Johnston)和爱德（Eide)曾利用以上方法对文献提供的若干有曲率、旋转影响的流动和边界层进行了计算，并把计算结果与实验数据作了比较。表3-1列出了作为纵向壁面曲率影响计算与实验对比的几种情况。表3-2列出了平壁旋转影哬对比的几种情况。表3-3列出了旋转边界层对比的几种情況。

表3-1     纵向壁面曲率影响试验情况

[紊流模型参数：λ = 0.08,K=0. 41,β_c=0，3. 6, 9 (序号3例外)]

表3-2     平壁旋转试验情况

紊流模型参数：λ=0.08，K = 0.41,β_Ω=0,6

表3-3     旋转边界层计算情况

图3-17中表示序号1的实验结果（用符号〇表示，下同）与计算曲线比较，图3-18表示序号2的实验结果与计算曲线比较，图3-19表示序号6的实验结果与计算曲线比较，图3-20表示序号7的实验结果与计算曲线比较。

从实验与计算结果的对比情况可以得出以下结论。图3-17和图3-19表示的旋转数R_v>0,流动是稳定的，稳定化使紊流应力降低，从而使摩擦系数c_f减小；使流动更多地保持为层流的趋势（推迟转换）会使形状因子升髙，动量损失厚度δ₂下降，但这一影响的量值在各种计算的情况均很小，图3-18和图3-20表示的旋转数 R₀<0,流动是不稳定的，不稳定的效应恰好与稳定效应相反。值得指出，图 3-19和图3-20表示的旋转对扩压器内流动的影响，在吸力面一侧，计算所预测的分离点位量（c_f=0)和实际分离位置近似一致，而在压力面一侧 则不能，这一事实虽不足以说明这种计算方法准确无误，但的确表明稳定性対分离的发生以及位置有着重要的影响。

图3-21和图3-22分别表示摩擦系数c_f和形状因子H随局部旋转数的相对变化量。动量是在相冋的x位置上按Ω= 0 的情况计算的。图中的曲线可用以下简单的式子进行拟合

（3-79）

（3-80）

以上简单方程可用于估算旋转的影响。方程式（3-79)和式（3-80)是以全流场的Ω为常数的情况计算所得的结果。如果Ω沿着x坐标变化，只要将的Ω最大值代人这些公式，就可能定出旋转影响的上界限。

在离心叶轮叶片表面的边界层计算中，只要薄剪切层近似成立，就可应用前面叙述的方法，这时，贴体坐标x建立在势流流线在叶片表面上投影形成的曲线上，如图3-23所示。在任一x处，由叶片表面的单位法向矢量和形成包含时均速度流向分量的平面,在这个平面内测量该平面与叶片表面交线圆弧的曲率半径R，这一半径表示局部曲率半径R（x）。Ω（x）的计算要稍微复杂一些。如前面讨论过的，哥氏加速度An沿y轴的分量An_y是考虑旋转影响稳定性的主要根源，这一影响的符号取决于矢量和_Ω之间的夹角Φ,在边界层外缘

（3-81）

通常总是正的，_zω则

（3-82）

按照先前定义的要求

（3-83）

比较式（3-82)和式（3-83)可得

（3-84）

由图3-23下部表示的几何关系可以得知，可以由在轴面上的投影与轴向的夹角α、回转面上的流动角β来表示

（3-85）

表3-4给出纯轴流（进口区)及纯径流（叶轮出口区）特殊情况下的简化结果。

表3-4         局部转速Ω的一些特殊值

对于叶片表面和势流流线形状复杂的情况，要精确地计算及R（x）和Ω（x）较为困难。考虑到这种方法本身所依赖的物理模型是近似的，因此有±10%的误差是允许的。既然离心叶轮中流动是由轴向光滑地转变为径向，因此可以在子午面上按照流面（轮盖、轮盘等）的平均斜率，适当选择一个从0至ω光滑变化的函数来近似Ω（x）。