第二节 电机设计中应用计算机时的若干数学处理

在编写计箅机程序时有些图表或曲线须用下列方法进行数学处理。

—、插值法

插值方法是将离散函数（列表函数>/ Or)先设法构造一种简单的插值函数U) (x)为原/ Or)的近似表达式)，使插值函数P (W与原函数/在所有给定的结点上具有相同的函数值，然后f对所求的任意被插点x的函数值,/ (文）用插值函数尸 U)的计算值来近似代替.这种用插值函数（近似函数）代蒈函数/ 〇r>的方法就是插值法，1*线性插值e知函数y=/(d在点的 函数值>=/ (a)* ：yi=(a)，我们作一个一次率 项式A U〉来逼近/ (工)，使满足俨(々)=/(知）.    （71)

Ia(^i) = /(^i)从几何上说a (a)表示通过两点u。30％)， Ulf为）的直线（图7-1)，因此两点插值也称线性插 值《根檐解析几何知识可以写出宣线方程> 的知种表达式，即许算V点处函数值/ (1）的线性公式1

从上式可知，将整条曲线分段用直线代替。毎段之间距离越近，即»分得樓多V插值点数选樽越多，精度越高。

电机设计中有许多曲线和图表，例如磁化曲线，饱和系数曲线等，都是一元承歎关系。手算中用査曲线或图表得到的相应值t机算时可用线性插值公式求得。

线性插值在电碓设计中用的软多•为使程序结构紧凑，语言稍炼，将线性插值过程编成子程序以便随时调用。

例如，一元线性插值子程序.

DO 44 j=k，k + 2

IF (j.EQ.i) GOTO 44  _

h=h；(u-x (j)) / (x (i) -x <j))   

CONTINUE  y=Y+h*y (i)

CONTINUE

RETURN   

END ^r

2.二元函数插值电机设计中常常策要读取二元表示的啤钱族，如轭輝琢路长度 修正系数C:，G的査取。一个函数值取决于两个自变量的，Ci值不佴取决干定子箱部择密 屯，还要取决于计赛轭离A:,与极距〜之比.因此对这#的曲线族进行插值实质上是二元“数 的插值问题。

二元函数的插值方法可以理解为商次应用一充插值，这与手算时査曲线的规律—样，也可以直接进行I；元函数插值。

例如二元函数插值子—序

SUBROUTINE   Laq2          ^ vt x, y\ z+ w>

DIMENSION     x (n)，y (m), z (n，m)t b (3)   

INTEGER 、i.丄.p, j.:、 ..七

DO 10 i—1* in^l ^   r F:

IF      Ci))^ ^ -Xu—k <i+l)^ft:E.〇) GOTO-20     \ t r ：

10 CONTINUE

v 、

IF (abs (u_x (1)) — abs (u—x (n))) 21，22, 22 ,.」』r十        

2】1         .f r

GOTO 24

22 p=n—1        r

GOTO 24                  

20 P=i

DO 25 j = li m —1

IF ( (v-y <i)) ^ (v-y (i+l)> , LE* O) GOTO 26         

CONTINUE

GOTO 28  V T 「      

2名 q=j

GOTO 27

28 IF (abs (v—y (1)) —abs (v—y (m)))     49，30，30     

.扣 q=1        

GOTO 27     

30 q=m—1

27 IF (p. EQ. (n-1) *OE,p.NE, l.AND* ABS (u—x (p)> -LT.l ABS (u—x (p+1)))

二、曲线拟合 .

在电机设计中，曲线和图表的数学处理办法可以公式化，即用解析式表达公式化的步 骤是首先根据曲线形状确定公式类型，也就是根据给定数据的分布选好相关类型的函数，然 后用待定系数法在常用范围内由曲线的已知点求公式的系it通常取多项式作为可取函数，用最小二乘原理作为衡董准则&    V

最小二乘法的原理是用一个相关类型的曲线方程近似地代替一组数据•并使原数据与曲 线上相应点之间的“傭差之平方和”为最小。最小二乘的名字也由此而得。这条偏差平方和

最小的曲线称回归曲线6根据实际情况，它可能是直线，二次曲线,.w也可能是指数函蚊，， 蒂函数曲线等。曲线拟合的基本方法可以，达如下：设y是关于自变童^:的待定参数方的形式已知函数,y=^S ix9 B) ；今给出（X，的n对观測值：(Xayz)是=1，,要求确定参数艮使〔力一/ (x*)〕2为最小丨■ 1

其中，X可以是单个变置或A个变置，即X*- (XU，尤沙，***^)    (k=lt 2,      

参数J?也可以是单个参数或m个参数，即方=(厶1，占”…办W)按最小二乘法，Q应达到极小，即在应满足方程组

解上述方程组即可求得各待定参数也•按上述处理方法，将DR230—50型硅钢片磁化曲 线离散化之后分四段拟合，得到结果如下：

//=(-0,46135+0* 83194X 10"3fi-0.12871X 10"6B2-|-〇, 0088653X 10'^)X 10"4(A) (当 0.4T<£<1，1T>

H= (46,158-〇,8584X10'35+0*44Xl〇-fi^> X10'4 (A)

(当 1.1T<£<1.37T  

//=<179*485—21.5503Xl(T$+0.1353XKT* 芹+〇‘〇39467乂1〇-&穸）\1〇-*(八）

〈当 1*37T<£<1. 5T)      

H= (1690. 465—232-485 XIO-^H-8.075X10™^) X10-4 (A)        

(当 1, 5T<B<1. 9T)

根据上述公式即可由己给定的磁通密度忍计算出相应的磁场强度而且平均相对偏差

不起过0.5%。

例如，计算磁场强度函数的辅程序

m FUNCTION ： H CB) -        

IF <BiLT. 4000.0. OR* B. Gt, 19000. 0) GOt〇30

H=1690.465- (232/485E-3+8；075E—6 B> * B

IF CB, GE. 4000,0. and. B* LE, 11000.0) ^

1 H=^—0； 46135+ (0* 8M94E—3—0.12&71E—6 ^B-H〇* 0088653E-t9 ** B ^ B>

1 1. -.

I

IF (B^GT, 11000. CL and. RLT，13700* O) 「        

l.H=46, 158- (8*584E-3-0,44E-6*B)

IF^ (R GE 131^6： a and, B, llT. 15000.0) ;    r.

1 H=179. 485- (21. 5503E-3-0* 13543E-6 * B-〇, 039467E-9 * B)

RETURNEND

3、迭代法

在电机设计中，我们遇到的问翅相当一部分是非线性的，如与进路计算有关的硅钢片的磁化曲线就是非线性的。为了求得所需工作点的数值，往往要求解一个非线性的联立方程组，以决定这两条曲线的交点。我们知道，当■电机埤部的视在磁密瓦大于，l.gT时，由于齿部饱和，磁导率下降，此时将有部分磁通通过棺部，因此齿部分的实际磁密及较视在磁密荩为小，这就是磁分流现象。确定齿部磁位降时应根据实际齿磁密及，它按不式来求取.

B_t = B1 - Ahk

式中抖——空气朦的磁导率*                           

^播截面与齿截面之比_f               

B_t——齿中实际磁密_t                                     

在——齿中拽在磁密f

——对应于炱的磁场强度，这样，考虑磁饱和时求磁位降可归结为解下列非线性方程组。 .

式中，况CB;)为所®娃钢片的磁化曲线_#对于上述非_性联立方程的求觯，在一般电机设计中往往是用囪解却画出上述二条
曲线，萁交点坐嫌便是所求的解_B逢种方法较舸琐，      

且精确度甚低。而甩计算机处瑄这类问威则有扣政的抚点•迭代法是用计抹机求解上迷联立方程的方法之一。

利用迭代法，用计算机可实现上述饱部也
路的磁分流图解计算，找到两条曲线的交点，从而求出齿部实标挺密及•迭代过程如囱7-2所杀。

迭代法扣主要步礫如下:

选择初始点作初始近似解将齿部视在磁密
瓦怍为初始近似解_#即五•及⑴=瓦，得到点1,设
迭代前的初始齿礅密为及，迭代后得的近^鱗为庆。

开始迭代将初▲近似解友依次柃入非线性孑程中的今方程，即从磁体曲线J;銪值求得的点2所轉相珐銬每场強度又妹直线方@K一中得//⑵所每应的新计算值，即点₃初对淦择螆密扣i>这倮是经第一次迭代所得的一次近似斛及=如—迭代精度判别将^<次迭代近似解払与痒代初始解々进行比锋，爭两孝偏_吵铯对值小于事先给定的某一小数值e时，即及厂时便认为找裨了两条曲线鈞衮点& 通掌第—次迭代时，两者不会相符，因牝驀

继续进行下一次迭代。 继续迭代将上十次迭代所得的近似解阶作为本次这代的新祷始解gp令方年仏然后再开始类似于第2步那样的迭代计算过程，得到新的进代近似解，即点₅,再赶精度判别又维续迭代得点7……如此经逐次迭代，偏差遂步缩小，最终逼近两条曲线的交点，即认为求得了非线性方程 组的解——齿部实际碓密瓦。