§5.3 汽泡的平衡和增长

 在研究和讨论汽蚀现象时，往往是针对单个球形汽泡的生长和溃灭的现象而言的。可是，如果是在流动的系统中，则由于断面的变化而会形成局部加速，并在该低压区形成汽穴。汽穴在随后的高压区溃灭。只要该处液体的压强保持为汽化压强或接近于汽化压强，则汽穴就会不断地形成和溃灭，从而在外观上看来这种汽穴是稳定的。

现在从单个球形汽泡出发来讨论汽泡的瞬态平衡问题。设有一个充满蒸汽和气体的球形汽泡，今把该球形汽泡沿其直径的平面予以切开（图5-1）则为保持两个半球所需的表面张力应为2πRσ,其中R为球形汽泡的半径，σ为表面张力系数。设p_g和p_r分别表示汽泡内作用在汽泡壁面上气体的分压强和蒸汽的分压强，则作用在每半个汽泡上的力就等于（p_g+p_r）πR²。若汽泡周围液体的压强为p_v，，则因该汽泡处于平衡状态而有如下等式；

或

（5-1）

也可以写成

（5-2）

上两式中，p_g表示汽泡中气体的压强，或蒸汽的压强，或两者混合气的压强。

这种分析只适用于具有一定尺寸的汽泡，当汽泡尺寸趋近于分子尺寸时，上述分析显然是不恰当的。

由式（5-1)可知，产生汽蚀或使汽泡增长的液体压强应为

（5-3）

其中汽泡内压强p_g-p_r的作用是加速汽泡的增长或阻止汽泡的溃灭，但表面张力的作用则是倾向于加速汽泡溃灭，阻止汽泡增长。

显然，液体的表面张力越大，则汽泡增长所需的压差也应越大，而汽泡闭合所需的压差则越小。这种情况说明，如果汽泡在流动系统中流经较短的低压区时，表面张力较大的液体将不容易发展成汽蚀，而表面张力较小的液体则将容易发展成汽蚀。事实上，单个汽泡的增长问题与临界压强有关，而临界压强则与汽泡的临界半径有关，这在本节后半部分将再讨论。

现在进一步讨论处于理想流体中的球形汽泡的增长问题。设无穷远处的液体压强为 p_∞且不计质量力，则在球形对称的情况下，汽泡壁面的运动方程可以用极坐标表示成

（5-4）

而连续性方程则可写成

（5-5）

式中    u——径向分速度；

           r——从汽泡中心算起的径向距离；

           ρ——液体的密度；

           t——时间；

           p——压强。

式（5-5)是不难理解的。因为半径为r的球形汽泡的面积为4πr²，则球形汽泡壁面在不可压缩流体中以径向速度u运动时，其作为源的质量流量就等于4πr²uρ。由于汽泡增长过程中r和u是变量，所以作为质量守恒方程的形式就如式（5-5)所示。

由式（5-5)可得

若r为从汽泡中心算起的径向距离，而R（t）为汽泡的半径，则上式也可写为

或

（5-6）

式中    R——从汽泡中心测得的汽泡和液体交界面处的半径，R是时间t的函数;

           ——半径及对时间的一阶导数，=dR/dt，即汽泡表面的增长速度。

将式（5-6)代人式（5-4)，可得

上式左侧第一项为

左侧第二项为

所以有

式中      ——半径R对时间的二阶导数，。

对上式从r=r到r=∞进行积分，此时压强分别为p和p_∞，即

或

即

（5-7）

式（5-7)表示流场中的压强分布，如果是在汽泡壁面上，此时r=R,p=p’,p’为汽

泡壁面上的压强，则在代人式（5-7)后可得

或

（5-8）

这就是在理想流体情况下，球形汽泡的壁面的运动方程式。

设汽泡中充满有蒸汽和气体，则对处于绝热情况下的完全气体而言，就可用以下关系表示汽泡内气体的压强：

式中    N——包含气体各神性质的常数；

           T——绝对温度。

于是可由式（5-1）得汽泡壁面上的液体压强为（此时p₁=p’）

（5-9）

式中    P'——汽泡壁面上的压强；

           P_v—— 蒸汽压强；

           σ——表面张力系数。

将式（5-9)代人式（5-8)，则得

（5-10a）

显然，f（R,T）是促使半径改变的力，其中p'为汽泡壁面处的液体压强。当汽泡处于平衡状态时，f（R,T）=0,即

（5-10b）

当f（R,T）＞0时，将促使汽泡增长，而当f（R,T）<0时，则将促使汽泡溃灭。这种分析说明，从汽蚀破坏材料的角度而言，其原因主要是流体力学的机械效应，而不是腐蚀效应。当然，这在大部分情况下是正确的，而在某些情况下，则腐蚀也起着重要的作用。由于讨论的是理想流体，所以这种分析并未揭示材料受到点蚀的详细机理，但也确实指出了汽蚀溃灭时产生很高流体压力和速度的原因。这是因为当原来的有限尺寸的汽泡变为数学上的一个点时，即汽泡溃灭时，压强就变为无限大的缘故。

由上述分析可知，f（R,T）还存在着一个作为汽泡半径之函数的最小值。显然，存在着如下的平衡稳定的条件：

<0时，汽泡稳定；

>0时，汽泡不稳定。

而当Əf/ƏR= 0时则为临界状态，并可由此求得临界半径R_c。在N和T给定的情况下，由式（5-10a)可求得临界半径为

（5-11）

由式（5-11)解出 ，并代人式（5-10b),则有

或

（5-12a）

或

（5-12b）

式中（p_∞-p_v）为临界压强，它与汽泡的临界半径相对应，这意味着汽泡处于临界半径时无穷远处液体的压强p_∞与汽化压强之差。从物理上来说，它表示汽蚀核子是否能迅速地增长成汽穴。一般说来，任何起始尺寸的汽蚀核子在压强降低的区域内都将会发生增长，直到临界半径为止。但由式（5-12a)可知，在σ相同的情况下，临界半径越小，临界压强的绝对值就越大，这意味着液体周围的压强p_∞必须下降到低于汽化压强，以便使汽蚀核子得以迅速增长。此外，任何半径大于临界半径的汽泡将倾向于无限地增长。显然，如果汽蚀核子在通过低压区时不足以使之增长到临界尺寸，那么汽蚀就将不会形成，可见，汽蚀核子的起始尺寸不同，就将在不同的绝对压强下才能显示出汽蚀的倾向。由此可知，如果不计及汽蚀核子的尺寸和分布，那么在以不同的液体进行实验时，所得的结果也将有所差异。