§5.5 汽泡溃灭时产生的压强

微细射流的速度虽然并不能精确地测定，但其值约为每秒数百米的数量级却是已为实验证明了的事实。同样，汽泡溃灭时所产生的压强也不能精确地测定，但其数值之大却足以使材料受到破坏也是众所周知的事实。

为了估计汽泡溃灭时所产生的压强，可根据瑞利（Rayleigh，L.)的说明加以论述。设液体无粘性，且是不可压缩流体，同时无限远处的压强p_∞为常数，则就球形汽泡而言，任意半径r处的速度可用连续性方程式（5-6)表示为

在汽泡半径从r缩小到R的那一瞬间，液体的动能表达式可由厚度为dr如而密度为ρ的同心液体外壳的动能的积分来求得，即液体的动能为

将式（5-6)代人上式，则有

（5-13）

设汽泡的初始半径为R₀，则当汽泡半径从R₀缩小到R时，在整个液体中所作的功应为无限远处的压强和汽泡体积变化的乘积，即

（5-14）

若液体是理想不可压缩流体，则式（5-14)所表示的功必然以动能的形式出现，即式 (5-14)的表达式应与式（5-13)相等，即

或

（5-15）

这就是汽泡壁面的运动速度与汽泡初始半径R₀和缩小后的半径R之间的关系。

由此可求得汽泡溃灭所需的时间。汽泡从R₀缩小到R时所需时间t的表达式可由式(5-15)求出。将代人上式，并经过必要的积分后可得

（5-16）

式中β= R/R₀。

如果将式（5-16)从β=0到β=1进行积分，就可获得汽泡完全溃灭所需的总时间。对于这一特殊情况，积分可借助于B函数来进行，根据B函数的性质可知，若有一B函数为

则积分后可得

为了使式（5-16)符合函数的形式，可令n=β³，于是有,这样就可把式（5-16)中的积分改写成

经比较后可知p-1 =-，即p= 5/6; q-1= -，即q= 1/2，结果，就可得总时间τ的计算式为

（5-17）

计算表明，初始半径为3.5mm的汽泡在1atm (101325Pa)的压力场中完全溃灭的时间约为0.7ms，即0.0007s。

由式（5-15)可知，当汽泡半径趋向于零时，汽泡壁面的速度将为无限大。这主要是由于在讨论该关系式时，未考虑到汽泡内蒸汽和空气的可压缩性之故。由式（5-17)可知，在不可压缩流体的情况下，汽泡的溃灭总时间与汽泡的初始半径有关，显然，溃灭时间应为一个有限值。实验表明，理论计算所得的溃灭时间要比实际的溃灭时间为大，这是因为上述论证未考虑汽泡溃灭吋汽泡内的压强将有所升高，从而使溃灭速度变慢之故。

设汽泡半径从R₀缩小到R时，其球面半径的变化宽度为δR= R_0-R。假定这一区间为扰动区，而在该区内汽泡半径缩小到R时所需的时间为t，在此期间，汽泡内的密度也将从ρ增大到ρ₁。若扰动的传播速度为a，则有t=δR/a，所以在δt时间内扰动区中所增加的液体质量将为

但是，由于汽泡半径的缩小，周围的液体将占据汽泡所让出的空间，因此进人该扰动区的液体质量将与所增加的液体质量相等，即

式中   ρ——未受扰动液体的密度；

          U——汽泡壁面的运动速度，

由此可得

可见，当ρ与ρ₁近似相等时，汽泡壁面的运动速度也相当于音速的数量级。此外，汽泡壁面运动速度从零增大到U时的动量变化为，而该动量变化应等于力的冲量由此两者相等，即得

（5-18）

显然，汽泡溃灭时所产生的压强相当于水锤作用所产生的值。其中已假定ρ₁≈ρ，将式（5-15)代人上式，即得

（5-19）

由式（5-18)可知，若汽泡壁面的运动速度为音速的数量级，而水中的音速约为1500m/s，则ρ₁=1000×1500²=225×10⁷N/m²≈22500大气压。事实上，这种估算汽泡溃灭压强的方法并不能获得即使是近似的结果，因为该方法并未计及液体的压缩性、气体的含量以及汽泡溃灭时的其他影响，如温度的变化等。

另一些研究者得出了不同的结果，例如脱里林（Trilling)得到大汽泡溃灭时的最大压强为2200大气压（2200×10^sPa);哈里逊（M. Harrison)认为汽泡溃灭点处的压强可达4000大气压（4000×10⁵Pa);苏顿（G.W.Suuon)则报导说在固体边界上的溃灭压强可达约19000大气压（19000×10⁵Pa)，但这些结果都没有令人信服的论据。关于汽泡的溃灭压强，至今还没有正确的理论和明确的实验来加以确定。但是，溃灭压强的数量级必然是相当高的，即使是极限屈服强度为136×10⁷N/m²的工具钢以及其他高强度材料仍然要受到汽蚀的浸蚀，这事实说明汽泡的溃灭压强有可能超过10000大气压（l0000X10⁵Pa)。