§2.1 叶轮内部液流的流动及其简化模型 

离心泵叶轮中液流的实际运动状态十分复杂。叶轮的轮盖、轮盘以及叶片的形状一般是复杂的空间曲面，由其构成的流动通道是一个不规则的三维空间；由于叶轮旋转，叶道与静止通流部件之间存在相对运动，叶轮中液流的绝对运动是非定常的，对旋转的参考系而言，相对运动也可能是非定常的；液体具有粘性，叶道内常有尾流区域存在。此外，还可能涉及液相向汽相成作相反的改变，因此，叶轮内的实际流动是粘性流体的非定常三维流动，对于这样的流动问题，原则上可根据连续方程、纳维尔—斯托克斯方程对其求解，但由于这些方程是非线性的偏微分方程，包含着四个独立变量（三个空间坐标和时间t)，而初始条件和边界条件（流场初始条件、进出口条件、叶道几何形状、叶轮内相对流动与静止通流部件内绝对流动之间的衔接转换等）也极其复杂，直接求解将遇到数学上的巨大困难，为此，根据长期积累的实践经验，针对实际问题对各种因素进行具体分析，忽略若干对流动主要特征和规律性不起显著作用的因素，使得求解成为可能和方便。实现这一目标的主要途径是：

(1)对流动介质采用理想化模型。在许多泵中，当流量在最高效率点附近时，粘性的影响仅局限于轮盖、轮盘和叶片表面附近很薄的边界层内，而在边界层以外的主流区，则可看作理想流体流动，这样不仅可以比较容易地求出叶轮内液流的主要运动规律，而且可以为边界层计算提供依据。液体的压缩性很小，通常将液体看作不可压缩流体。

(2)设法使问題降维，即减少独立变量的数目。在叶轮以等角速度旋转，流量维持恒定的情况下，如果叶轮进口处的流动是轴对称的，而下游非轴对称性通流部件足够远，则叶轮内的相对流动可以视作定常的，同样，液流在蜗壳、导流器等通流部件中的绝对运动随时间的变化也不大，也可以近似认为是定常运动，于是独立变量中时间t就可不予考虑，在研究离心泵流道中的速度分布、绕叶型环量计算、叶片表面上的速度分布和压强分布等问题时，各种简化大都采用理想不可压缩流体定常运动的基本模型。

另外的降维措施则是从空间坐标方面人手。在叶轮中，液流的相对速度和其它流动参数可由三个坐标来确定。若选取的正交坐标系为m，φ，n（如图2-1所示），m表示轴面流线，φ为极角（垂直纸面方向），n为过流断面与轴面的交线。根据流动参数与坐标（m，φ，n）的依赖关系进行简化，便得到不同的流动模型。最简单的是一维流动模型。假定所有的流动参数都仅是m的函数，而在n方向与φ方向是均匀分布的。一维流动模型能简捷地反映叶轮内流动的总体特征和主要规律、适合于叶轮的初步设计和方案选择，为进一步采取更为精确的二维和三维理论提供依据。在积累较多的计算经验和 试验资料的基础上，一维流动计算与模型试验研究相结合，也能设计出较为满意的叶轮，该流动模型宜用于低比转数泵的设计。如果假定流动参数仅与坐标m、n有关，则流动是二维的。在二维流动模型中，依据轴面速度沿过流断面（n方向）速度分布符合势流规律，又分为有势的或有旋的二维流动理论。二维流动模型的主要优点在于能使叶片设计同选用的轴面流动特性较好地相适应，以上几种流动模型都是轴对称流动模型，由于采用无限多叶片假定，所以，原则上不能用来计算叶片表面的速度分布和压强分布，不能建立起计算叶轮汽蚀系数的方法，且不能应用边界层理论来分析叶片边界层内的粘性流动现象。无限多叶片假定与实际情况相差较大，叶轮中实际液流井不呈轴对称，为了考虑有限叶片数的影响，必须采用近似的修正方法，近年来，三维流动理论得到了发展，在叶轮机械中广泛采用一种把复杂的三维流场简化为两个相关的二维流场的所谓S₁与S₂相对流面理论。两类流面是这样形成的：在垂直叶轮轴线的某一平面内，两相邻叶片间选定某一半径为反的圆弧，某瞬时通过该圆弧的所有流线形成的流面，称为S₁流面，如图2-2中，经过圆弧P₁P₂形成的曲面P₁P₂Q₂Q₁。在相对流动定常的情况下，该流面也可看成是流经该圆弧的所有流体质点，在叶道内作相对运动时形成的轨迹面。图2-2中，若把A,B,视为叶片的进口边，线段AB若旋转某一角度即可与叶片进口边重合。某瞬时逋过线段AB所有流线组成的流面，称为S₂流面。一般来说，S₁流面、S₂流面都是复杂的空间曲面。通过S₁与S₂这两类流面的适当组合，交替应用，就可以把叶轮中三维流动问题分解为两个分别在S₁与S2相对流面上相关的二维流动问题。这种方法原则上可以通过迭代计算，逐步逼近三维流动的准确解。不过这样的求解过程仍然是十分繁杂的。因此，目前实际应用时，还只能满足于它的初级近似解，作为初级近似，假定S₁流面为回转面， 即看作轴面流线绕叶轮轴线旋转形成的曲面簇，至于S₂流面，通常只限于取叶道中间的一个中间流面，这样的近似模型称为准三维流动模型。通过对中间流面上的流动分析，可以得出流动参数沿轴向和径向的分布，以及分析轴面流道几何形状、叶片进出口边位置和叶片厚度对流动的影响。中间流面上的解，提供S₁流面的形状、流片厚度和其它有关参数。对S₁ 流面的分析，可得出流动参数沿周向的分布以及叶片几何形状的影响，并为S₂流面上的一些参数提供依据。两类流面交替应用、相互修正，以逐步逼近准三维流动的解。目前，以准三维流动模型建立起的各种理论，大都采用理想流体这一基本假定，因此，在设计工况点附近，准三维流动理论可以较好地计算出叶片表面的速度分布与压强分布，预测叶轮的能量特性与汽蚀特性，对实际运行的叶轮内部流动作出分析。另一方面，在叶轮的研制阶段，可以对各种设计方案进行流动分析与择优筛选，以改进设计和减少模型试验工作量。但在非设计工况，如小流量运行情况下，由于泵内存在大的回流区，粘性影响占主导地位，叶轮内的流面形状严重扭曲，准三维流动模型就不能近似实际流动情况。

综上所述，各种流动模型的建立都基于一些相应的假定，这些假定在某些情况下能较好地近似实际流动情况，而在另一些情况下则不能。与各种流动模型相应的理论方法也都有各自的优缺点，不能片面地认为三维理论一定优于二维理论或一维理论，问题的关键不在于数学方法是否复杂，而在于它所反映的物理规律是否与实际流动一致或接近。迄今为止，已有的理论和水力计算方法都是和实验相结合的，依照模型试验的结果来修正和改进理论上的不足。因此，究竞选择何种流动模型，采用什么计算设计理论方法，应根据具体问题的性质以及所具备的条件来确定。