§2.2 液流运动的基本方程组

由前一节的讨论可知，叶轮内的相对流动以及静止通流部件内的绝对流动，在一些实际情况下可能简化为理想不可压缩流体的流动。为方便起见，一般采用圆柱坐标系来描述液流的运动。理想不可压缩流体流动所满足的连续方程、欧拉运动方程在圆柱坐标系（r,θ，z）的形式为

（2-1）

（2-2）

式中c_r,c_u，c_z分别表示液流绝对速度在三个坐标方向的分量，p为压力，F_r，F_θ,F_τ分别表示作用在单位质量流体上的质量力的三个分量。

研究液流在叶轮中的运动时，由于叶轮在转动，因此将坐标系（r，φ，z）固结在旋转的叶轮上，研究其相对运动比较方便，此时连续方程和欧拉运动方程的形式为

（2-3）

（2-4）

式中ω为叶轮的旋转角速度，ω_r，ω_φ，ω_z为相对运动速度的各分量，它们与绝对运动速度各分量之间，有如下关系

（2-5）

在稳定工况下，叶片式水力机械叶轮中的相对运动可视为定常运动，液体质点流经叶轮时，其几何髙度的变化与总能头变化相比很小，所受的质量力与压力相比也很小，因此反映流动非定常特征的局部加速度项及质量力项均可忽略不计，液流相对运动的微分方程组可写成如下的形式：

（2-6）

（2-7）

以上方程组作为分析和计算叶轮内液流相对运动的基本方程组。方程钽中包含ω_r，ω_φ，ω_z,p四个未知量，也包含四个方程式，因此方程组是封闭的。原则上，在给定的边界条件下可求解叶轮内理想不可压缩流体相对定常运动的流场。

对于理想流体，由叶轮机械的欧拉公式可知，对单位质量流体叶轮所做的功为

式中下标1表示叶片进口处的流动参数，令λ=r₁（r_1ω+ω_φ1)，称为进口处液流的预旋项。单位质量液体在进口处所具有的总机械能为E₁=p₁/φ+[（r_1ω+ω_φ1)²+ω_m²]/2(不计重力势能）,按功能的转换原理，则有

展开上式并整理，得

（2-8）

式中ω表示相对运动速度的模，ω²=ω_φ²+ω_m²=ω_φ²+c_m²。习惯上称H为转子焓（Rothalpy），这是沿用叶轮机械气体动力学的称谓。对液流而言，通常看作密度为常数的等温流动，因此不采用焓的概念，该物理量可理解为反映单位质量液体所具有的总机械能及流动周向分量 的一个综合量。式（2-8)亦可看作理想流体作相对运动沿流线的伯努利方程，沿同一流线，H为常数。式（2-8)中代人ω²=ω_r²+ω_φ²+ω_z²，分别对r、φ、z求偏导数，得

（2-9）

以上三个式子还可合并为矢量形式

（2-10）

式（2-7)亦写成矢量形式

（2-11a）

注意到则上式可以写成

（2-11b）

因为和，比较式（2-10)和式（2-11b），则得

（2-12）

该式称为理想不可压缩流体的相对定常流动的克罗柯（Crocco)运动方程。

将上式展开，则得克罗柯运动方程的分量形式，常用于确定相对流面上的运动。

（2-13）

（2-14）

（2-15）

由于，在等角速(ω=常数）情况下，上式中的。

需要指出，液流绝对运动的方程组式（2-1)和式（2-2),或液流相对运动的方程组式 (2-6)和式（2-7),它们都反映了理想不可压缩流体作三维运动所遵从的规律。目前，无论是用解析的方法或数值的方法，求解这些偏微分方程都有一定的困难。因此，在工程计算中，根据流动的简化模型对以上方程组作相应的简化。简化时，既要考虑方程组的可解性，同时也要考虑简化后的流动模型与真实的流动情况不致产生很大的偏离。由于采用的简化方案不同，导致有若干不同的计算途径。