§2.3 中线法

中线法是一种改进的一维流动理论方法，在一维流动模型基础上，考虑了因粘性作用在叶道四壁存在的边界层和叶片厚度对流动的阻塞影响，以及叶片进口冲角和出口滑移造成的周向速度变化，从而可计算流动在叶轮内的损失，英国国立工程实验室（National Engineering Laboratary) 的研究人员 ，已成功地把这种方法应用于离心泵和混流泵的设计计算。

在中线法中，忽略轴面内流动从轮盖到轮盘间的变化， 流动以轴面流道几何中线上的速度来表示，见图2-3D在中 线上计算进口速度三角形和出口速度三角形，由进出口速 度三角形的变化估算流动损失及其它特性s

轴面流道的中线绕叶轮轴旋转一周形成的回转面与叶片相截得一环列叶栅，该叶栅由叶片数z、叶片几何参数、 表面粗糙度△来描述。此外，还需确定叶轮旋转角速度流量Q、进口周向速度c_m和流体的物性参数，如密度ρ、运动粘性系数γ。

在回转面内，叶弦按下式计算：

（2-16）

式中m表示从叶片前缘算起的轴面（于午面）距离，β为叶片角，下标1、2分别表示进口边和出口边。为了计算叶栅稠度s和滑移系数σ，需计算有效叶片数z'，有效叶片数表示消除叶片压力面和吸力面边界层位移厚度δ₁和叶片厚度t对流动的阻塞影响后，叶轮出口处圆周与叶道弧长的比值，因此

（2-17）

对于栅距沿轴面方向变化的环列叶栅，叶栅稠度以叶弦与平均栅距之比表示，即

（2-18）

按照威斯钠（Wiesner)关于滑移系数的表达式

（2-19）

这里按有效叶片数z'计算并作了修正。若叶栅稠度s小于1,则滑移系数需再乘以下式

（2-20）

液流落后角（偏差角）采用康斯坦（Constant, H.)的计算公式

（2-21）

然而，当该值达到使液流折转量增大时，d取为零。

不考虑叶片阻塞影响时，袖面速度可由沿中线的连续方程得出

（2-22）

（2-23）

式中_m2表示叶轮出口主流与尾流及边界层混合后的平均連度,在不计粘性的主流中，出口轴面速度为

（2-24）

式中B为阻塞系数，表示出口处主流过流断面面积与出口处叶道过流断面面积之比。主流出口速度的周向分量为

（2-25）

式中u₂为出口处叶片的周向速度，叶道四壁附近的边界层与叶道几何形状及进、出口速度三角形之间的依賴关系，可以通过扩散系数联系起来，扩散系数是针对叶道不同壁面进、出口处相对速度的估算值，定义为

（2-26）

对于轮盖、轮盘和叶片的吸力面、压力面，出口相对速度均采用主流的出口相对速度

（2-27）

对于轮盖与轮盘，进口相对速度采用进口速度三角形上的值

（2-28）

为了计算叶片压力面和吸力面在进口处（前缘）的相对速度，假定在轴面流道中线形成的回转面上，叶片附着涡沿叶片中线分布，如图2-4所示，γ为附着涡强度沿叶片中线的分布函数。选取进口处和半径为r的两个圆周，两圆周用图示的割缝连成一封闭回路。根据斯托克斯定理，速度环量与旋涡强度之间有如下关系式

（2-29）

所以

（2-30）

若取包围一个叶片在内的微元面积dm，则沿该微元面积边界正向的速度环量等于dm长度内沿叶片表面的速度环量，它与涡通量的关系为

令，则得

（2-31）

假定γ_r沿m的分布可用下式表示

（2-32）

式中e、f为待定常数，第二项相当于液流由进口的相对流动方向朝叶片进口角方向的折转，即有进口冲角的情况下附加的涡分布。利用式（2-30)得

（2-33）

上式左端积分等于m₂f，由此得

（2-34）

方程式（2-32)中第一项，相当于引起进口流动折转的附着涡的余项，利用式(2-30)和式 (2-33)得

（2-35）

利用以上近似，可以估算冲角的影响。在叶片吸力面，进口相对速度等于ω₁+△ω,而在压力面，进口相对速度等于ω₁-△ω。注意到叶道进口处，轴面坐标m=0，由式（2-31)和式(2-32,)得叶道不同壁面的扩散系数

（2-36）

（2-37）

（2-38）

下标s表示叶片吸力面，p表示叶片压力面，sh表示轮盖或轮盘。如果在叶片吸力面的扩散系数D_s>1.8,则认为叶道中的流动处于分离流动状态，叶道四个壁面形成的边界层，先用零冲角平板边界层来估算，然后用扩散系数关系式修正。假设流过平板的速度等于相应壁面的出口相对速度，且流动雷诺数、壁面粗糙度均相同。取叶片弦长a为特征长度，则

（2-39）

根据平板边界层理论，若壁面处于水力光滑，速度按 次幂规律分布，在距前缘长度为a处的动量损失厚度为

（2-40）

若为水力粗糙，速度按对数规律分布，则

（2-41）

上式适合于10²<a/△<10⁶范围。将以上顺流平板边界层的结果乘以经验修正关系式，便可用于叶道各个壁面。经验关系式为

（2-42）

上式中叶道不同的壁面采用不同的扩散系数。对一些泵的叶轮使用以上经验关系式，结果令人满意。动量损失厚度乘以形状因子H（H=δ₁/δ₂，亦为扩散系数的经验关系式），就可得,出相应位置的位移厚度

（2-43）

在流动没有分离的情况下，阻塞系数利用位移厚度来计算

（2-44）

式中a₂为轴面流道中线的轴向倾角。这一新计算的B值代回到式（2-24)，便可确定一新的 c_m2值。因此，以上的计算过程应进行迭代，直到满足一定的精度。

为了处理流动有分离的情况，假定在叶片吸力面当扩散系数D_s>1.8时，就不存在严格意义下的边界层。将临界值Ds=1.8代人式（2-36)，则方程式（2-25)、式（2-28),式（2-36)组成一个关于c_m2的二次方程，解出后，由式（2-24)得到阻塞系数B。叶片压力面和轮盖、轮盘的边界层计算仍如前面的步骤，将B、δ_1s、δ_1p及有关的叶轮几何参数代人式 (2-44)，得出一个新的位移厚度由式(2-17)可以看出，这一新的δ_1s值将改变有效叶片数z'，因此，在流动发生分离的情况下，亦需要迭代计算。在处理分离流动时，若采用叶片吸力面尾流与阻塞系数相关联的形状因子，则结果还要好些，所用的关系式为

（2-45）

在流动分离情况下，叶片吸力面边界层由与扩散系数有关变为与阻塞系数有关，故它不是流量的连续函数，这一点在某些情况下预测泵的性能时带来缺陷。

一旦得到叶道中的收敛解，则出口周向速度和损失就可算出，假定液流一离开叶轮出口，主流与边界层流动就立即进行混合，叶道出口处位移厚度δ₁和动置损失厚度δ₂分别定义为

（2-46）

（2-47）

式中y表示沿出口周界垂直叶道壁面的距离，δ为边界层厚度，如图2-5所示。混合过程中液流在圆周方向无外力作用，因此角动量守恒，即

（2-48）

式中右端第一项表示混合前主流的角动量，第二项为边界层内液流的角动量，在边界层内，认为液流的相对流动角与叶片角一致。左端             _m2表示主流与边界层经过混合以后，液流的周向速度。式(2-48)经整理又可表示为

利用u₂-c_u2=w₂cosβ₂代人上式，则得

（2-49）

由此得出混合后液流的周向速度为

（2-50）

由叶道出口处边界层在四个壁面的分布，参见图2-6,沿叶道出口周界的环形积分可近似表示为

（2-51）

设在叶轮出口处未混合前主流的压强为p₂，主流中液流可视为理想流体，按照相对运动的伯努利方程

利用进、出口速度三角形，上式又可表示为

（2-52）

液流流出叶道经混合后的压强记为，假定混合过程经历了突跃变化，类似于通过冲击波时流动参数发生突跃变化。由径向动量方程

（2-53）

式中c_m2表示叶轮出口液流经混合后的轴面速度。利用关系式cm₂=wm₂=w₂sinβ₂代入上式，得

（2-54）

单位质量液流在叶轮进口处所具有的机械能（有用能）为，流经叶道并经混合后所具有的机械能为，则损失的机械能为

（2-55）

利用式（2-24)、式（2-52)及式（2-54)，上式成为

（2-56）

故总的水力损失为pQE_f。

在具体计算时，初值可取B = 0.75,z'=z,迭代采用以下格式

（2-57）

式中B_n表示第n次计算所取的初值，为考虑阻塞效应的修正值，B'_n+1为计算所得的新值，可作为下一次计算的初值，R为松弛因子。R可先取为0.5,在迭代过程中检査B值的变化情况，若发现B振荡变化，则松弛因子R乘以0.9,否则乘以1.1。当Bn和修正值B'_n的差值小于某一指定小数时，认为计算达到收敛，可停止迭代，通常可取

（2-58）

以上讨论的迭代格式和松弛因子对有效叶片数z'的计算同样适合。