第四节 任意回转流面（S1）的流动计算
§2.4 任意回转流面（S1）的流动计算
在准三维流动模型中，跨叶片间的相对流面（S1）簇用一系列由轴面流线绕叶轮轴线旋转而成的回转面代替，由于轴面流线的形状可以是任意的，所以由它旋成的回转面亦是任意回转面，在回转面上，叶片的截面形成一个环列叶栅。S1流面的流动分析主要是计算跨叶片间的相对速度分布、叶片表面的压强分布，以及在两类相关流面迭代计算过程中，为S2流面的分析提供有关数据.分析S1流面流动的计算方法有若干种，通常采用的有矩阵法、流线曲率法、有限元法和无限薄叶片间流动的奇点法。上述这些方法，在国内公开出版的书籍中已有论述。本节介绍一种改进的流线分析法。它的优点在于保持了流动具有拥圆型方程的特征，不需进行流线拟合以及传统的流线曲率法中通常采用的低松地解法（Under-relaxation),而是由流线及其正交线自然产生适体曲线坐标。
一、任意回转流面上的坐标系与方程组
在任意回转流面上建立一正交曲线坐标系（m，φ，n)，如图2-7所示。坐标线m为子午面与S1流面的交线，φ坐标线为垂直转轴的平面(z=const)与S1流面的交线，n坐标线与S1流面垂直。在S1流面上，相对速度
具有两个非零的分量：轴面（即子午面）速度wm和周向速度wφ，而法向速度分量wn = 0。正交曲线坐标系（m，φ，n)的拉梅系数为1，r, 1, 在此坐标系下
以上诸式中，
分别表示三个坐标方向的单位矢量。将以上各量代人式（2-12)， 可得周向的运动方程为
（2-59）
利用关系式
可导出
，将此式代人式（2-59)并展开其余项，得
（2-60）
在φ坐标线上r=常数 
可改写为
。令l表示相对流线，在Sl流面上，定常相对运动的质点导数为
（2-61）
因此
（2-62）
利用以上关系式，式（2-60)可改写为
相对流线的微分方裎为
（2-63）
因此沿相对流线，
，代人式（2-62)左端的第二项，得
（2-64）
上式可整理为
（2-65a）
或
（2-65b）
方程式（2-55)是关于相对流线周向坐标φ(m)的二阶常微分方程。
在m，φ，n坐标系中，取一微元控制体，如图2-8所示，b表示两相邻St相对流面的垂直距离，称为流片厚度，单位时间沿m方向流入微元控制体的质量为wm1ρbrdφ，流出的质量为
，沿φ方向流人控制体的质量为wφρbdm,流出的质量为
,在相对流动定常情况下，控制体中的质量不随时间变化，由质量守恒原理可知，单位时间流入控制体的总质量等于流出控制体的总质量，由此得出S流面在（m，φ，n)坐标系下的连续方程
（2-66）
引入流函数ψ，ψ与wm和wp有如下关系
（2-67）
（2-68a）
流函数ψ自动满足连续方程式（2-66)。设相对流线与φ坐标轴负方向的夹角为β，则沿相对流线
，因此式（2-68a)又可改写为
（2-68b）
二、任意回转流面(S1)的数值计算方法
在任意回转流面（S1)上，根据流动的周期性，可取与一个叶道内的流动相应的部分为求解区域，如图2-9所示。AB取为环列叶栅上游远前方某一截面，CD 取为环列叶栅下游远后方某一截面，在AB和CD边界上，认为流动参数均匀。曲线ALTC表示经过叶片吸力面的一条滞止流线， 曲线BL’T’D表示经过叶片压力面的一条滞止流线。令
，式中φs表示过叶片吸力面的滞止流线在上游截面（m = 0)所对应的φ坐标值，φp表示过叶片压力面的滞止流线在上游截面对应的φ坐标值，me为取定的下游截面所对应的m坐标。N、M均表示正整数。过点
的一系列流线和
的平行线组成的网格，将求解区域划分为若干小区域，网格的交点称为节点，区域内相对流动的连续解，用区域内诸节点上的离散解来近似。式（2-65)是关于相对流线坐标φ (m)的二阶微分方程，其边界条件在离散的边界节点上确定。
1)上游边界m=0:
（2-69a）
（2-69b）
式中β0表示入流角，参见图2-9。式（2-69a)表示了上游边界诸节点的相对位置，一旦φb的位置确定，则其余节点的φ值均确定。
(2)下游边界m =me
（2-70）
式中βe表示出流角，参见2-9。
(3)周期性边界0≤m≤ml及mt≤m≤mc
（2-71a）
（2-71b）
式中j=0表示过压力面的滞止流线，j=N表示过吸力面的滞止流线，（m1,φ1）为叶片前缘的坐标，（mt,φt )为叶片后缘的坐标。
(4)叶片表面无分离流动条件m1<m<mt：
式中βb为叶片表面的几何角，φb为叶片表面的φ坐标，在压力面和吸力面取各自的对应值。由于相对流场的速度分布和流线的位置坐标都是待求的，以上所取的求解区域边界，除叶片表面位置确定外，其余边界的位置要在求解过程中逐步确定下来。如边界流线、流线的倾角依赖于速度场，而速度场又要待流线确定后由流函数求出，因此，在迭代求解的过程中边界是变化的。内部节点位置坐标（m, φ）中m坐标固定，而φ坐标亦随迭代计算过程变化，逐渐逼近某个定值，这些特点与流线曲率法类似。以外，在下游截面的出流角βc也是未知的，βc应根据叶片后缘处满足库塔条件来确定。
在规定的边界条件下，方程式（2-65)、式（2-67)、式（2-68)采用有限差分方法求解。设连续函数f(x)在定义域有各阶导数存在，则函数在（x0+△x）处的值可按泰勒级数在x0点展开
（2-73）
由上式得
若△x为小量，则得
（2-74）
其截断误差的数量级为一阶小量，记为o(△x)，可见函数f(x)在点x0处的导数（微商）可用函数值与自变量的差商来近似表示，式（2-74)称为一阶导数的向前差商公式。类似地在（x0-△x）的函数值可表示为
（2-75）
由此得出
（2-76）
上式的误差亦为O(△x),称为一阶导数的向后差商公式。若式（2-73)减去式（2-75),得
由此得出
（2-77）
该式称为一阶导数的中心差商公式，其截断误差为O(△x2),可见其精确度较向前差商公式和向后差商公式为高。式（2-73)与式（2-75)相加，得
由此得出
（2-78）
该式称为二阶导数的中心差商公式，其截断误差为O(△x2)。
求解区域用网格划分后，节点上的有关参数值用两个标号来表示，如
等，i表示沿流线节点的序号，j表示流线的序号。微分方程式（2-65b）中的一阶、二阶导数均采用中心差商格式近似为
（2-79）
（2-80）
导数
用
点的函数值表示，参见图2-10,其中心差商表达式为
（2-81）
点（i，j）处的值亦用
和
处的平均值表示
（2-82）
将以上诸式代人式（2-65b)中，则得流线坐标p的差分方程为
（2-83）
式中
（2-84）
（2-85）
（2-86）
（2-87）
以上差分方程适用于区域内节点，j=l，2，…，N-1，i=1，2，…M-l。下面考虑边界节点差分方程的建立。
当i=0, 利用边界条件式（2-69b）和向前差商公式，得
（2-88）
当i= 0, j≠0,利用边界条件式（2-69a)直接得
（2-89）
当i=M,利用边界条件式（2-70)和向后差商公式，得
（2-90）
对于区域边界流线上的节点，分别予以考虑。过压力面的滞止流线，其上下游流线端点的条件由式（2-71a)确定，差分形式与式（2-88)和式（2-90)相同，其余节点按式(2-83)的中心差商格式表示为
（2-91）
过吸力面滞止流线各节点的值，由边界条件式（2-71b)直接得出，
以上建立的差分方程均为关于节点坐标φi,j的代数方程，这些代数方程对一条流线联立，就可得到（M+1)阶代数方程组，可表示为矩阵形式
（2-92）
由上可见，其系数矩阵为三对角矩阵，有许多成功的方法可用来求解这种类型的方程组。
流线位置坐标确定后，诸节点上相对速度wm，wφ可利用数值微分来计算。由于沿m方向相邻流线节点φ坐标的差值不再是常数，式（2-67)和式（2-68b)中的一阶导数不能用式（2-77)来近似。沿一条流线流函数ψ等于常数，设m坐标相等的三条相邻流线节点坐标分别为
，参见图2-11，其上流函数分别为
利用泰勒级数公式
以上两式中，第一式两端乘以
与第二式两端乘以
后相减，得
由此得出
（2-93）
以上差商格式类似于中心差商格式，其截断误差为O(△φ2)。为了书写方便，令
方程式（2-67)和式（2-68b)可表示为如下的差分方程：
（2-94a）
（2-94b）
以上公式适合于内部流线节点。在边界流线上的节点，利用流动的周期性，可将标号为j=N-1的流线当作标号为j=-1的流线，或标号j=N+1的流线当作标号的流线，应用式（2-94)建立中心差分格式从而求出边界流线上的速度。在叶片表面，则应采用一侧差分格式求速度分布。
综合以上分析，任意回转流面上的计算可按下列步骤进行：
(1)确定计算节点数M和N，假定一初始流线位置及网格点上的初始速度分布（节点的m坐标和叶片的φ坐标均固定），由上游截面流片的体积流量、轴面速度、流片厚度确定每流线上的流函数ψj。
(2) 由节点处的初始速度分布、半径r等值建立代数方程组的系数矩阵和右端项，解方程式（2-92),依次定出各条流线节点的新坐标。
(3) 利用式（2-94b)求出节点上新的速度分布。
(4) 判断是满足库塔条件和指定的收敛精度，若不满足，重复（2)〜（4)过程直至收敛。
(5)若需要的话，由叶片表面的速度分布按相对运动的伯努利方程计算叶片表面的压强分布。
由以上的分析计算过程可知，任意回转面（S1)上的解与回转面的形状r (m)和流片 厚度b (m)直接相关，而这些参数又依賴于轴面（S2流面）的流动分析。因此，任意回转流面上的流动计算不是孤立的，需要由两类流面交替使用，通过迭代求解才能逼近准三元流动。
