§2.5 轴面（S₂)的流动计算

在本章第一节关于流动准三元流动模型的讨论中，述及S₂流面只取叶道中间的。一个中间流面来近似S₂流面簇。至于中间流面则有不同的取法，若假定叶轮内的流动是轴对称的，则中间流面的形状与叶片的中心面一致；也可考虑有限叶片数对流动的非轴对性影响，估算进口冲角和出口滑移来修正前述的中间流面；还可对叶道内流动沿周向取平均，用周向平均的平均流面来代替S₂流面簇，等等。以上几种是工程计算中采用得较多的S₂相对流面。 为了方便起见，通常把S₂相对流面上的流动旋转投影到轴面（子午面）上，就得到轴面流 动，S₂相对流面上的流线在轴面上的投影称为轴面流线（或子午流线），这样S₂流面上流动的计算问题可转移在轴面上进行。如同S₁流面上流动的计算一祥，也有许多方法可供选拜， 为了使读者熟悉一些新方法，本节介绍流束有限元方法求解轴面流动。

一、轴面流动的基本方程组

任一流动参数A在叶道中同一半径上的周向平均值，定义为

（2-95）

式中φ_p为叶片压力面的角坐标，只为相邻叶片吸力面的角坐标，流场中任一空间点的流动参数可以表示为周向平均值与偏差值之和，即（2-96）

由周向平均值的定义可知

（2-97）

现从叶道中相对运动的连续方程、运动方程出发，导出汁算轴面流动的基本方程组。将连续方程式（2-3)在一个叶道取周向平均，得

应用积分的莱布尼茨(Leibniz)法则，上式可改写为

设叶片表面的曲面方程为或，叶片表面的法线可表示为

在叶片表面，相对流动与叶片表面相切，因此，即

（2-98）

利用上式，式（2-98）成为

（2-99）

引入表示叶片厚度对流动通道影响的阻塞系数B，B定义为

（2-100）

式（2-100)又可改写为

（2-101）

故得轴面流动的连续方程为 

（2-102）

关于轴面流动的运动方程，现以径向运动方程为例说明其导出过程。将相对流动的运动方程式（2-7)的第一式乘以r，连续方程式（2-3)乘以w,后，两端分别相加，得

上式两端取周向平均，并利用相对速度矢量与叶片表面法线垂直的条件，得

（2-103）

注意到

（2-104）

利用式（2-9)和莱布尼茨法则，式（2-103)右端周向平均值可表示为

（2-105）

将式（2-104)及式（2-105)代人式（2-103)，并利用轴面流动的连续方程式（2-102),经整理得 

（2-106）

式中

（2-107）

（2-108）

类似地可得轴向运动方程 

（2-109）

式中

（2-110）

（2-111）

f_b,z,f_b,r分别称为叶片力的轴向分量和径向分量。它是由叶片表面在吸力面和压力面压强分布不同产生的。P_z，P_r表示偏差项，是由叶道内流动非轴对称性影响引起的。

连续方程式（2-102)，运动方程式（2-106)及式（2-109)构成轴面流动的基本方程组。对于离心叶轮流场，运动方程在轴向分速度很小的流动区域采用式（2-109)，在径向分速度很小的流动区域采用式（2-106)。

二、轴面流动方程组的求解

由连续方程引人流函数，令

（2-112）

将上式代人运动方程式（2-106)及式（2-109),得

（2-113）

（2-114）

将轴面流动求解区域离散为有限个小区域（元素），每个小区域均由两条流线及适当的截线围成，如图2-12 (a)所示，典型的四边形元素如图2-12 (1>)所示，点1至8表示在元素边界上取定的节点，1-2-3及6-7-8为两条流线，1-4-6及3-5-8为截线，点4、5均为对应截线的中点，一般不在一条流线上。在每个小区域，流线位置（r，z）可用节点上的坐标（待定）通过插值函数来近似，如采用双二次基函数来近似。

（2-115）

（2-116）

同样，小区域内的流动参数亦可用双二次基函数作为插值函数来近似，例如流函数ψ可表示为

（2-117）

式中ψ，表示元素节点的流函数值，亦为待定量。利用加权余置法中的伽辽金方法，方程式 (2-112)在区域ΔΩ内可表示成

（2-118）

由于流场变量和元素边界的函数近似公式是由同次的插值函数表示的，因此，这种方法得到的曲边元素称为等参元素。通过等参元素的变换，参见图2—13,则在区域ΔΩ中的积分 转移在局部坐标-l≤ζ≤l，-l≤η≤l的矩形区域中进行数值积分。积分后得到关于ψ_i和 (r_i,z_i)的非线性方程。对于所取的8节点二次元素，插值基函数的个数为8,按伽辽金方法选取的权函数与插值函数相同，因此可建立8个元素方程。所取元素的部分边界为流线，在节点1、2、3上流函数为同一值，节点6、7、8上流函数亦为同一值，元素中流函数的末知量仅为。对于理想流体，转子焓沿流线为常数，元素中转子焓未知量为。因为流线位置事先不知道，故流线上6个节点的坐标亦为未知量。方程中其余参数如，叶片力f_b,r和偏差项均由回转面上的解提供。将求解区域各元素方程集合，则得阶数较高的有限元方程组，嵌入边界元素上满足的进、出口条件和流线节点位置，则方程组中的未知量数目将大大降低。一般来说，待求的节点未知量的个数小于方程组所包含的方程个数。元素方程可以在整个求解区域上集合，也可以从叶轮进口到出口沿一条流束上集合， 例如，一条流线取为轮盖，该流线上节点的坐标均已知，由进口条件定出该流线及相邻流线上的流函数ψ和转子焓值，这样集合的方程组中，未知量仅为与轮盖相邻流线上节 的坐标，解方程组后定出流线节点位置，通过依次扫描计算，逐步求出全部流线的节点位置， 然后利用数值微分定出节点上的速度分布及其它流动参数，这种流束扫描有限元解法有较大的灵活性，并且要求计算机内存较小，相应的计算机时也少。

在两类流面迭代计算时，轴面流动的流线位置及沿流线流动参数的分布，可为回转面内提供流片厚度及边界条件，进而可求解回转面上的流动参数并计算偏差是P_r,P_z及叶片力项f_b,r,f_b,z。通过两类流面的迭代计算，相互修正，直至得到收敛的解。