§3.2 旋转与曲率对流动的影响

 一、旋转对流动的影响

考虑一以角速度ω旋转的固体平壁，流体相对于固体壁面作平行剪切流动，如图3-1所示。垂直壁面方向流动的相对加速度为零，因此，作用在单位质暈流体上的哥氏力-2ωu与当地压强梯度相平衡。假定位于2层的流体质点受 到y方向的扰动到达邻层3位置（参见图3-1)，而它自身对转轴的动量矩保持不变，即yu=c。因为y₃>y₂,所以该流体质点到达y₃后的流速将小于u(y₂），所受的哥氏力亦变小。而在3层位置的流动速度u(y₃）> u(y₂）,与当地哥氏力-2ωu(y₃）相平衡的压强梯度将大于该流体质点所受的哥氏力，因此,流体质点将回到2层位置。反之，位于2层的流体质点受y方向的扰动到达1层后，由于流体质点所受的哥氏力大于当地的压强梯度，流体质点在不平衡力的作用下仍能返回到原先的平衡层位置。这种情况下，旋转对流动的影响是增加稳定性。如果固体壁面旋转的方向与图3-1所示相反，情况就不同了。这时流体质点在y方向受到扰动后，将加速离开平衡层，旋转对流动的影响是减弱稳定性。由以上分析可以看出，旋转对流动稳定性影响与旋转方向及流动的速度分布有关。

以上简单讨论了旋转流场中哥氏力垂直于壁面的情况。假如哥氏力平行于固体壁面，在壁面附近的边界层流动中，将往往引起二次流的发展。图3-2表示了一个典型离心叶轮的流动情况。在轮盖和轮盘的边界层中相对速度很小，由叶轮旋转引起的哥氏力平行于壁面，它与叶片吸力面到叶片压力面的周向压强梯度不平衡，因产生二次流，二次流将边界层中的低速流体带向吸力面，从面加快了吸 力面尾流的增长。关于二次流将在 § 3. 3予以讨论。

许多科研工作者通过旋转通道内流动的研究，揭示了旋转对流动压强分布、速度分布、壁面切应力等方面的影响。图3-3和图3-4分别表示旋转的方形截面管道中的充分发展流动，旋转对压强分布、速度分布的影响，图3-3表示静压沿宽度方向的变化，p_c,L为中心线处的静压强，为进口处以平均纵向速度表示的动压。图3-4 表示沿管道截面中心线宽度方向(x)的无量纲速度分布，为无旋转时截面上速度的最大值，即中心线位置的速度值，旋转数，B为管截面宽度，为平均速度。由图中可见，速度的最大值向压力面一侧偏移。图3-5表示由旋转引起的二次流高度方向的速度分量(v)沿宽度方向的变化。图3-6表示在x/B = 0. 5 (即中心线处） 二次流宽度方向的速度分量（u)沿 髙度的变化。图3-7表示旋转管道中压力面与吸力面的切应力速度与无旋转时的切应力速度 (u_c)₀之比随旋转数的变化曲线。旋转对流动的影响还将涉及层流向紊流的转换，以及紊流结构的变化等。

二、曲率对流动的影响

曲率对流动的影响从物理本质上来说，是惯性离心力对流动稳定性的影响。对于绕凸壁面的剪切流动，流动速度分布如图3-8所示。设距离壁面y处的流线曲率半径为R，该处流体质点所受的惯性离心力与径向的压强梯度相平衡：

（3-15）

假定处于该层位置的流体质点受到y方向的小扰动后，向外偏移了Δy，进入速度更高的区域，而流体质点的角动量 (动量矩）保持不变，所以，u’表示位移后流体质点的运动速度。在该处与惯性离心力相平衡的压强梯度为

（3-16）

而流体质点移动到该位置后所受的惯性离心力为

（3-17）

它将与该处的压强梯度不平衡，流体质点受到径向的净作用力为

（3-18）

注意到Δy是一小量，展开上式时分子中忽略二阶以上小量，分母中Δy与R相比亦可忽略， 故可得径向净作用力为

（3-19）

因此，流体质点的运动方程为

（3-20）

该方程表示流体质点在原先的平衡层位置附近作简谐振动，其角频率为。当时，角频率为正实数，对应的流动是稳定的；当时，角频率为虚数，对应的流动是不稳定的；当时，角频率为零，对应中性稳定。习惯上，对于凸壁面流动，曲率半径R取与正值，这时曲率对流动的影响是增加其稳定性；对于凹壁面流动，曲率半径R取为负值，这时曲率对流动的影响是降低其稳定性。曲率对流动稳定性的影响，主要应用在曲率对素流边界层的结构、雷诺应力、混合长度等方面的研究。有关内容将在本章后面介绍。