§ 3.3 二次流 

二次流本质上是由旋涡引起的环流。如果沿主流方向存在旋涡，由旋涡引起与主流方向相垂直的流动称为二次流。二次流与主流叠加在-起形成种螺旋状的复杂流动。二次流的产生与发展是与旋涡的产生与发展密切联系的，因此对二次流的研究着眼点在于分析流动方向旋涡分量的形成与发展。

离心叶轮中的流动属于有曲率的旋转通道内的流动。为了讨论离心叶轮中的二次流性质，首先考虑有曲率的旋转通道内，沿流动方向旋涡分量形成与发展的规律。为了分析方便，讨论限于理想流体，这对于粘性作用小重耍的流动区域，可以定量地了解二次流的发展，而对粘性作用重要的流动区域，也可以定性地给出变化趋势。

对于不可压缩理想流体，在忽略质量力的情况下，如果选取的坐标系以等角速度旋转，则在相对坐标系中的运动方程为（3-21）

式中表示相对运动速度，分别表示绝对运动速度和牵连运动速度。利用关系式

（3-22）

（3-23）

（3-24）

则式（3-21)可改写为

式中左端第二项又可作以下变换

式中表示旋涡矢量，等于绝对速度的旋度。将以上变换后的项代人原式后，得

（3-25）

令，可称为旋转滞止压强，因此得运动方程的另一表达形式

（3-26）

如果相对流动是定常的，，运动方程变为

（3-27）

由上式可以看出，p₀^·/ρ的梯度矢量与相对速度矢量和旋涡矢量叉乘后的积相等，由矢量积的性质可知，流场中任一点处(×)垂直于和所在的平面，而（p₀^·/ρ)的梯度矢量垂直于（p₀^·/ρ)的等值面，因此，和与旋转滞止压强的等值面共面，即绝对运动的涡线、相对运动的流线（）包含在p₀^·的等值面内。在p₀^·的等值面内，旋涡矢量可以分解成沿相对速度方向的分量及垂直相对速度方向的分量，参见图3-9。令Ω_s表示在相对速度方向的投影，则该分量可表示为Ω_s，表示相对速度方向的单位矢量。垂直于相对速度的分量可表示成

因此 

（3-28）

由矢量分析中对一个矢量的旋度取散度等于零的恒等关系，对式（3-28)两边取散度，即用算子▽点乘两端，得

（3-29）

在式（3-29)的展开过程中，将用到以下一些矢量分析的关系式，设ø表示一标量函数，，表示矢量函数。

（3-30）

（3-31）

（3-32）

（3-33）

利用这些公式，式(3-29)可表示为

由相对运动的连续方程，，故上式中第一项等于零，第三项中，利用式（3-27)和式（3-33)，得

相对速度的旋度作代换 

利用三重数积的性质和三重矢积的运算规则，式（3-34)左端第四项作如下简化

注意到则上式简化为

将以上诸式代人式（3-34),得

（3-35）

利用，上式整理为

(3-36)

在定常的相对运动情况下，表示其相对加速度，-般而言，相对加速度可由流线曲率引起的局部向心加速度和切向加速度组成，按照矢量叉乘的定义，矢量积的模等于w与垂直流线方向的加速度（即局部向心加速度）分量的乘积，其方向与流线的切线及流线的主法线方向垂直，如图3-10 所示。因此

(3-37)

式中为流线次法线方向的单位矢量，R为流线的局部曲率半径。将式（3-37)代入式（3-36),得

（3-38）

一个标量函数的梯度矢量在某方向的投影，表示标量函数沿该方向的方向导数，故上式又可表示为

（3-39a）

或

（3-39b）

式中s表示流线方向的坐标，b为次法线方向的坐标，z为旋转坐标系中的z坐标（转轴）。式（3-3S)或式（3-39)是分析流向旋涡分量沿流动方向变化规律的基本方程。该式表明， 流场中旋转滞止压强分布不均匀是引起旋涡生成、发展的先决条件，流动方向旋涡分量的变化可由两种因素引起，其一是流线具有曲率，其二是绕z轴以角速度ω旋转。对于沿流动方向旋涡的发展，曲率的影响通过在流线次法线方向存在旋转滞止压强梯度起作用；而旋转的影响则要通过旋转滞止压强的轴向梯度起作用。对于无旋转的情况（ω=0）,如固定弯头中的流动，仍可用以上方程来分析曲率引起的二次流。

离心叶轮中流动的流体是具有粘性的实际流体。在粘性影响不重要的区域，用理想流体模型能很好地近似实际流动情况，前面的分析可以定量地确定沿相对流动方向旋涡分量的变化关系。一方面，在粘性影响重要的区域，如边界层流动和尾流，旋涡在粘性作用下具有扩散性；另一方面，在流动过程中一部分能量用于克服摩擦阻力，它不可逆地转化为热能，旋转滞止压强将降低，因此，在粘性流体中旋涡的生成、发展规律比理想流体复杂得多。但是，式（3-38)或式（3-39)仍能定性地反映出粘性流体中流动方向旋涡分量的变化趋势。现分析如图3-11所示的离心叶轮内的流动。在轴向流动占主导地位的叶片进口区域，A点位于靠近轮盖的边界层中，B点位于靠近轮盘的边界层中，在该处由叶片的曲率引起的相对流线的曲率，流线的次法线方向近似垂直于轮盖壁面，在边界层内，静压p及pu²的变化可以忽略，由于相对速度加沿壁面外法线方向（近似为流线次法线方向）存在很大的梯度，所以，沿流线次法线方向旋转滞止压强亦存在很大的梯度，，在该处沿轴向旋转滞止压强的变化较小，因此，对流动方向旋涡分量的影响主要来自叶片表面的曲率和边界层内的损失，它使流动方向Ω_s增大。在B点，情况与A 点处类似，但壁面外法线方向与流线次法线方向大体相反，因此，从而使Ω_s沿流向减小。以上只分析了具有代表性的两点，实际上处于轮盖边界层和轮盘边界层内的点都具有这样的性质，因此可以看作是两个涡面的旋涡分置沿流动方向变化，一个涡面Ω_s增 加，而一个涡面Ω_s减小，二者综合作用的结果将使叶道内的流动产生二次流，在流速极低的流动区域二次流的作用就相当明显，在轮盖和轮盘的边界层内，二次流的方向指向叶片吸力面一侧，同时，由流动的连续性要求，造成轮盖、轮盘以及叶片压力面边界层内的低能置的流体质点向叶片吸力面边界层聚集，从面使吸力面边界层增厚。在径向流动占主导地位的出口区域，C点表示位于轮盖边界层内的点，D点表示位于轮盘边界层内的点，这时相对流线的次法线方向与z轴方向近似平行，因在这个区域内流线的曲率半径较大，式（3-39)中的两项相比较，第二项的影咱较大，C点处Ω_s沿流向增大，D点处Ω_s沿流向减小，类近地引起轮盖与轮盘边界层内的二次流亦使低能量流体质点向叶片吸力面一侧聚集。

离心叶轮中二次流的发展以及边界层的发展、流动分离等因素互相影响和制约，决定着叶轮中尾流的形成与发展，尾流区域越大意味着叶轮内的流动损失越大，流入其后的扩压器内时也将引起较大的损失。因此，控制尾流产生与发展的手段之一就是减小叶道内的二次流。通过以上影响流动方向旋涡发展的分析可知，曲率与旋转对二次流的影响，是与旋转滞止压强沿流线次法线方向及轴向的变化率紧密联系的，因此减小二次流应从两方面入手，一方面在可能的范围内增大曲率半径和降低转速，另一方面则要设法降低旋转滞止压强梯度。例如，加大进口段叶片的曲率半径以及轴面流道型线从轴向转折到径向的曲率半径，可以减弱叶道中的二次流，通过合理设计叶道的轴面型线，采用合适的压强梯度和速度分布等手段，控制叶道中轮盖与轮盘表面的边界层厚度，亦可以减弱因旋转引起的二次流。