§4.5 优化设计简介

水力设计是一个实现多目标的分析综合过程。如在§4.1中所述，在泵的设计技术要求中有些是相互矛盾的，因此，如何保证主要技术性能指标，并协调其它一些技术要求，使之从总体上来看是最优的，便是优化设计的任务。优化设计已成为工程技术领域最重要的问题之一，随着数学方法和电子计算机的迅速发展，优化设计过程往往在计算机上完成，形成了计算机辅助设计（CAD)这一新兴的强有力的工具。优化设计是建立在一个符合真实流动情况的物理数学模型之上，通过求解反问题得到有关几何参数，通过正问题计算来预测流场及各种性能指标，逐步去劣存优从而使反问题的解是最优的。对于不同的设计任务可以建立不同的物理数学模型，采用不同的优化方法。为了对优化设计有一个概括的了解，本节以离心泵叶轮的优化设计为例，说明优化设计的思路和数学处理过程。

优化设计涉及三个要素，即目标函数、设计变量和约束条件。目标函数是根据设计任务建立的数学模型用来评价设计优劣的函数，使其达到最小值（或最大值），这是优化设计追求的目标。离心泵叶轮设计的任务是在给定的流量Q、扬程H和叶轮转速n的条件下，获得尽可能髙的效率。

设进口预旋等于零，则欧拉扬程为

（4-96a）

式中β₂为叶片出口角，为叶轮出口面积。有限叶片时的理论扬程为

（4-96b）

式中p=K,R，，z为叶片数，μ为滑移系数；叶片出口修尖时K₃=1. 5〜1.6,不进行修尖时，K₃=1.7〜1.8。利用经验公式

（4-97）

（4-98）

要得到实际扬程，必须考虑叶轮和蜗壳中的各种损失，其中沿程损失为

（4-99）

局部损失为

（4-100）

式中v对叶轮而言为相对速度，对蜗壳而言为绝对速度；d_r为流道的当量直径。由此可得设计工况下的实际扬程为

（4-101）

设不包括圆盘摩擦损失的机械效率为η_m=0.95,则泵的效率应为

（4-102）

式中P_L表示泄漏损失的能置，P_df表示圆盘损失的能量，在叶轮结构参数的优化设计中，定义如下的目标函数

（4-103）

当目标函数F达到最小值时，泵的效率最大。

经验表明，满足指定性能的叶轮几何参数可能有不同的组合，但其效率却有差别，这是由于叶轮效率一方面取决于叶轮的结构参数，另一方面取決于叶片的型线。显然，优化设计要求在满足指定性能的前提下，使叶轮的外径D₂、出口宽度叶片出口角β₂、进口直径D_c以及叶片数z之间有一个良好的配合，以获得尽可能高的效率。因此，选取以上五个量作为优化设计的设计变量，这些设计变量可以表示成多维空间的矢量形式：

（4-104）

设计变量除了满足主要的函数关系式（即目标函数）之外，它们还须满足别的些关系式，这些关系式往往是不等式，称为约束条件。离心泵的一维设计已积累了大量的经验数据，这些数据无疑可在优化设计中作为选择参数范围的借鉴，例如，

（4-105）

在改型设计时，为了使新的叶轮外径不致于与泵壳体发生碰撞，对D₂还应加以下限制

（4-106）

式中D₂₀表示原叶轮的外径。以上这些经验关系式都可作为约束函数，并记作统一的形式

（4-107）

即

上述的优化设计问题可归纳为如下的数学问题：

（4-108）

有许多方法可用来解以上带约束的极小化问题。这里采用序列无约束极小化方法（Sequential Unconstrained Minimization Technique)，简称SUMT方法，即把原来的带约束条件的目标函数的极小化问题，转换为对指定的目标函数附加不同的罚函数，从而得到不带约束条件的函数序列，对该函数序列寻求最小值来逼近原问题。

（4-109）

式中W_t为加权因子，W_t>0 (对所有i)，适当选取加权因子可使诸约束条件对罚函数的贡献为同一数量级。对所有的K均有r_K≥0，r_K为迭代计算的下降因子。由式（4-109)可以看出，当设计变量趋于约束边界时g_r为一很小的量，这时罚函数的值很大，从而使目标函数F_K(，r_K)的值很大，在几何上相当于筑起一道屏障，使设计变量不能逾越约束边界。但是，目标函数的最小值有时会在某个约束条件的边界上达到，因此需要逐步减小r_K的数值，使“屏障”的高度下降，从而使F_K(，r_K)在迭代过程中逐步逼近极小值点。在求以上函数序列极小值的迭代计算过程中，需要确定计算初值点。通常，对于N维空间变量的初值点可选为（N+1）空间多边形的顶点，也有推荐选取（2N+1）多边形。在设计变量不多的情况下，可选取2^N多边形，也就是说，对每一设计变量（D_v，D₃,β₂，b₂ ，z)选取不同的两个值，则它们可以组成2⁵ = 32个空间变量的值，这样不同设计变量的组合对目标函数的影响将揭示得更为充分。每一次计算都需算出空间多边形顶点上的目标函数值，比较它们的大小，找出最大值与最小值，然后，在N维空间沿最大值点与最小值点的方向捜寻另外一点，使它的目标函数值小于原来的最小值，或者至少比原来的最大值小，所得到的设计变量空间点作为空间多边形新的顶点，舍弃原来目标函数值最大的空间点，这样不断地比较、捜索，就可使空间多边形逐步向某一点收缩，而该点所对应的目标函数值最小。严格地讲，这样得到的最优解可能是局部最优解，因此应在大范围的设计变量空间中找出所有的局部最优解，从而确定整体最优解，经验表明，利用以上的优化设计方法并采用载荷法设计叶片，使得某一离心泵改型设计的叶轮在设计工况下效率提高7%,整机效率提高4%。

由以上离心泵叶轮结构参数的优化设计可以看出，优化设计是以问题的物理数学模型为基础的。以上的物理数学模型建立在经验公式的基础上，它只反映出总体尺寸对性能的影响，实际上，叶轮轴而流道的形状、叶片进口边位置及叶片的形状等对性能均有影响。因此要达到髙层次的优化设计，就应采用更能反映实际的物刼数学模型。在数学寻优或筛选过程中，要进行大量的正间题计算，因此它的繁杂程度、精确程度决定着优化计算的工作量与品质。对于设计变量的很多的情况，其计算工作量将大得惊人，在高速大容量的电子计算机问世之前，这些计算是难以实现的。尽管目前人们对离心泵内的流动现象有了更深入的认识，建立了相应各种理论，但是，这些理论所依赖的物理模型在有些情况下并不近似实际的流动。有人预言，对于各种运行条件下，泵内如此复杂的旋转空间流场的完整模拟和计算，在不远的将来也几乎是不可能的。因此，在预测离心泵性能或优化设计过程中，还需要理论结合实际，以试验弥补理论上的不足，同时使理论得到发展与完善。