优化设计数学模型的一般数学表达式为 设计变量尤=极小化目标函数mirx/U) X^Ea

满足约束条件gi(*)多0 i = l, 2，…，mhj(x) = 0 j = l, 2，…t m (1-56)

由此可见，目标函数、约束条件和设计变量是数学模型的三个组成部分。

1.目标函数

在优化设计中，需要有一个衡量可行设计方案好坏的评价标 准，其数学表达式，称为目标函数或评价函数。一般它是设计变量 的多元函数，记作：/U) = U,，义2,…，xn)。同时它也是设计 者设计意图的体现u目标函数不同，得到的优化方案也不同。

电机设计中最优标准是由设计者按照电机的不同类型、用途及 用户的特殊要求制定的，有费用（如有效材料费用、制造费用、运行费用）、体积、重量，也可以是性能指标（如效率、起动性能等），将其任何一项指标做为目标函数，求其极小值，数学表达式为min/U)求极大值的问题也可转化为求极小值问题：

|AVSc—禮篆 =min[ _/(*)] (1-57)

故本书只讼求况。

桃优化以有效材料成本为目标函数。

F =铁的成本CFfi +铜的成本C& +铝的成本Caj

=KfeGVt. + Kq^Gcu + ^aj^ai  (1-58)

式巾/^e、/Q：u、/Cw——铁、铜、铝单位重量的价格；

〇F^ GCu> 〇M——每台电机铁、铜、铝的重量。

以上是以某项经济技术指标为目标函数，要求设计变量义与 其为单值困数，称为单13标函数优化。

实际工程设计中对方案的要求往往是多方面的，优化的目的函数不止一个，即多目标优化问题，它的目标函数为：

min/^at)

rmnfiix)

4  (1-59)

» •參

-min/g( x)

例如设计一台髙效电动机，目标函数可选效率和有效材料成本，这就形成了多目标优化问题。这几个目标如何兼顾，它们之间往往不能用同一单位去度量，且往往又是相互牵制的。因此，解决此类问题比较复杂，本书不作详细讨论。

2.约束条件

电机优化设计中除了对目标函数求极值外，为了得到可行的优 化方案，必须对设计变量的取值加以限制，使其它性能以及一些结构 尺寸等也符合规定值。异步电机优化设计常取的约束条件为效率、功率因数、最大转矩、起动电流、起动转矩和热负荷等性能指标，电磁负荷的上、下限以及一些结构尺寸等。

约束条件一般可以表示为设计变量的不等式约束函数jiU)多 0和等式约束函数AjU)=0,约束的表达形式可以相互转化，所以在电机设计讨论约束条件时，一般只讨论不等式约束情况。一个不等式约束条件，可将设计空间划分为两个部分，如图1~44画出三个不等式约束条件的示意图，图中约束条件和目标函数都是二维函数，以々U)会—曲线，将平面分成两部分，
一部分引画上阴影线，不满足约束条件;
授g3(*)彡〇的另二条曲线。以三条曲线为边界f围成域称为可行域Z)。对干/I维空间，满足所有i个约束条件的集合是ri维空间£；n的一个子集，即允许值/),表达式为：

D- \ X: gXx)-^0 (i = l, 2，3…）|      (1-60)

由此可见，可行域的大小和范围取决于约束条件的构成，若约束条件取值不合理，容许集可能是空集，即不存在可行域，此时优化设计没有可行解。正确选定约束函数的值，可以获得合理的可行域，它也是判断设计方案是否可行和是否合理的标准。

3.设计变量

一个设计方案可以用一组基本参数的数值表示，一台三相异步电动机的参数多达数十个，在电机设计中有的基本参数可以根据工艺、结构和使用要求预先确定，有的基本参数对性能影响不大，可以根据经验预先取作常数，而另一部分对电机优化结果影响较大的量，在优化设计过程中待定的参数，称为设计变量，又称优化变暈。

若一个设计方案有几个设计变量X,可以按一定次序排列成数组，表示成一个n维列向量，即X = (*i，X2**"»^n)T

为表达方便和推理需要，可建立n维设计空间的概念，每一个设计方案即n维空间上的一个点X，当n =2,即二维设计平n=3,即三维设计空间；当n >3时，很难用几何图形来表达，称为超越设计空间。设计变量越多，设计自由度越大，可供调整的内容也越多，这样可能越理想，但是，此时，优化的 规模也相应增大，这会给优化过程的数据处理 _e增加大大增加计算时间。因此，根据具体情况合理地 逸敢$计变量的个数n很有必要。设计变量的选择原则如下：

1.在满足设计要求的前提下，应该尽量减少设计变量的个数， 三相异步电动机优化设计的变量一般不超过10个。

2.应该选取对目标函数影响较大，对约束条件和性能指标影 响直接的基本参数作为设计变量。因此，目标函数不同，设计要求不同，设计变量也将随之变化，方能获得最佳的优化结果。

3.选取设计变量应是一组相互独立的基本变量。它们的取值范围应比较容易确定。

以异步电动机优化为例，设计变量分几何参数和电磁参数两大类。常用的几何参数有定子内径、铁心长度、每槽导体数、导线截 面积以及定子、转子槽的槽宽、槽高，如以起动性能为目标函数或 特别关注的性能，也可把槽口尺寸作为设计变量。另有一些几何参数尽管与电机性能关系密切，但不宜作为优化变量，如定转子槽 数、槽形，定子外径等。电磁参数作为设计变量的有气隙磁密、齿 部、轭部磁密，定、转子导体电密等，电磁负荷的取值范围容易掌握，这样优化时的初值和设计变量的上、下界容易确定，而几何参数直观，无需进行开槽计算，有利于减少计算量和运算时间。因此，常用的设计变量往往是一组互相独立的几何参数和电磁参数相 结合的量。电机优化变量中有连续变量，如电磁参数和几何参数中 的定转子槽高、槽宽等，也有离散变量或整数变量，如标准线径

对应的导线截面、每槽导体数等，电机优化所取的变量往往是既有连续变量，也有离散量，称其为混合规划问题。